Chứng minh $ab+bc+ac\ge 1$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Đặt $$a=\sqrt{y^2+yz+z^2};b=\sqrt{z^2+xz+x^2};c=\sqrt{x^2+xy+y^2}$$ Chứng minh $ab+bc+ac\ge 1$
Giả sử cho điểm $M$ bất kì trong mặt phẳng.
Dựng các điểm $A,B,C$ sao cho $MA=x;MB=y;MC=z$ và $\angle AMB=\angle BMC=\angle CMA=120^0$
Khi đó $MA$ là điểm Toricelli trong tam giác ABC có 3 cạnh $BC=a;CA=b;AB=c$. Ta cần chứng minh $$ab+bc+ac\ge 1=MA+MB+MC =\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+2S\sqrt{3}}$$
Hay $$a^2+b^2+c^2 \ge 4S\sqrt{3}+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$$
Đây chính là bất đẳng thức Finsler-Hadwinger
Vậy ta có điều cần chứng minh. $\blacksquare$