chotam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, có trọng tâm G. G nằm trong (I). Gọi
a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC. Tìm GTLN, GTNN
của biểu thức:
P=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}
Lời giải
GTNN
Ta có a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac do đó P\ge 1
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c khi đó tam giác ABC đều.
GTLN
Gọi p và r theo thứ tự là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Theo định lý Pythagore ta có
IA^2+IB^2+IC^2=(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2+3r^2 \,\,\,\,(1)
Lại
có
IA^2+IB^2+IC^2=(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GA})^2+(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GC})^2=3IG^2+GA^2+BG^2+CG^2\,\,\,
(2)
Do \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}
Từ
(1) (2) và để ý rằng GA^2+BG^2+CG^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{3} theo công
thức đường trung tuyến ta có (p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2+3r^2
=3IG^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\,\,\,\, (3)
Vì I nằm trong hình tròn (I) nên IG \le r
Từ (3) ta có (p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2+3r^2 =3IG^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}
Do đó P\le \frac{6}{5}
Đẳng
thức xảy ra tại IG =r. khi đó G nằm trên đường tròn (I) chẳng hạn
đối với tam giác có độ dài ba cạnh là 5;10;13\blacksquare
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét