Processing math: 0%

Thứ Ba, 11 tháng 12, 2012

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: P=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}

chotam giác ABC  ngoại tiếp đường tròn tâm I, có trọng tâm G. G nằm trong (I). Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
P=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}
Lời giải
GTNN
Ta có a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac do đó P\ge 1
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c khi đó tam giác ABC đều.
GTLN
Gọi pr theo thứ tự là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Theo định lý Pythagore ta có
IA^2+IB^2+IC^2=(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2+3r^2 \,\,\,\,(1)
Lại có IA^2+IB^2+IC^2=(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GA})^2+(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GC})^2=3IG^2+GA^2+BG^2+CG^2\,\,\, (2)
Do \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}
Từ (1) (2) và để ý rằng GA^2+BG^2+CG^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{3} theo công thức đường trung tuyến ta có (p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2+3r^2 =3IG^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\,\,\,\, (3)
I nằm trong hình tròn (I) nên IG \le r
Từ (3) ta có (p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2+3r^2 =3IG^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}
Do đó P\le \frac{6}{5}
Đẳng thức xảy ra tại IG =r. khi đó G nằm trên đường tròn (I) chẳng hạn đối với tam giác có độ dài ba cạnh là 5;10;13\blacksquare

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025