Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $P=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$

chotam giác ABC  ngoại tiếp đường tròn tâm I, có trọng tâm G. G nằm trong (I). Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
$P=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$
Lời giải
GTNN
Ta có $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac$ do đó $P\ge 1$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ khi đó tam giác $ABC$ đều.
GTLN
Gọi $p$ và $r$ theo thứ tự là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Theo định lý Pythagore ta có
$$IA^2+IB^2+IC^2=(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2+3r^2 \,\,\,\,(1)$$
Lại có $$IA^2+IB^2+IC^2=(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GA})^2+(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GC})^2=3IG^2+GA^2+BG^2+CG^2\,\,\, (2)$$
Do $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$
Từ (1) (2) và để ý rằng $GA^2+BG^2+CG^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$ theo công thức đường trung tuyến ta có $$(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2+3r^2 =3IG^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\,\,\,\, (3)$$
Vì $I$ nằm trong hình tròn $(I) $ nên $IG \le r$
Từ (3) ta có $$(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2+3r^2 =3IG^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$
Do đó $P\le \frac{6}{5}$
Đẳng thức xảy ra tại $IG =r$. khi đó $G$ nằm trên đường tròn (I) chẳng hạn đối với tam giác có độ dài ba cạnh là $5;10;13\blacksquare$