Dùng vô cùng lớn, vô cùng bé để tìm giới hạn

Sử dụng vô cùng lớn và vô cùng bé để tìm giới hạn

Trần Trung Kiên

Phương pháp vô cùng bé, vô cùng lớn được dùng nhiều trong các bài toán giải tích như các bài toán về khảo sát sự hội tụ của tích phân, cũng đồng thời cung cấp các kĩ thuật trong phương trình vi phân,... Trong phần này chúng tôi xin trình bày ứng dụng của nó trong việc tìm giới hạn.

Phép tính vô cùng lớn, vô cùng bé sẽ cho phép ta biến đổi các hàm tương đương với nhau đưa những biểu thức lấy giới hạn phức tạp về những biểu thức đơn giản hơn. Ở đây, chúng tôi chỉ trình bày sơ lược, khái quát về định nghĩa, ví dụ cùng một số bài tập để bạn đọc áp dụng.



1. Định nghĩa
Hàm số $\alpha(x)$ được gọi là vô cùng bé (VCB) khi $x\to x_0$ nếu $\lim\limits_{x\to 0}\alpha(x)=0$ (ở đây $x_0$ có thể là $\pm \infty$)
Hàm $y=f(x)$ được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi $x\to x_0$ nếu $\lim\limits_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty$
Những kiến thức cần nhớ.
Giả sử $\alpha (x)\to 0$ khi $x\to 0$, khi đó ta có các kết quả sau:

•  $\sin x=x+o(x),x\to 0;\; \sin (\alpha(x))=\alpha (x)+o(\alpha(x));\; \alpha(x)\to 0$
•  $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2),x \to 0;\; \cos (\alpha (x))=1-\frac{\alpha^2(x)}{2}+o(\alpha^2(x));\alpha(x)\to 0$
•  $\ln (1+x)=x+o(x), x\to 0;\; \ln(1+\alpha(x))=\alpha (x)+o(\alpha(x));\alpha (x)\to 0$
•  $e^x=1+x+o(x), x \to 0;\; e^{\alpha(x)} =1+\alpha(x)+o(\alpha(x));\; \alpha (x)\to 0$
• $a^x=1+ax+o(x), x \to 0;\; (1+{\alpha(x)})^a =1+a\alpha(x)+o(\alpha(x));\; \alpha (x)\to 0$
• $\tan x=x+o(x),x\to 0;\; \tan (\alpha(x))=\alpha (x)+o(\alpha(x));\; \alpha(x)\to 0$

Nếu $\alpha(x)\sim \gamma (x);\beta (x)\sim \delta(x)$ khi $x\to a$ thì $\lim\limits_{x\to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim\limits_{x\to a} \frac{\gamma(x)}{\delta(x)}$

•  $o(\beta)\pm o(\beta)=o(\beta)$
•  $o(c\beta)=o(\beta)\;\forall c\neq 0\;\;\;\;\;\; (o(\beta))^n =o(\beta)^n\; n\in \mathbb{N}$
•  $o(o(\beta))=o(\beta);\;\;\;\;\; o(\beta+o(\beta))=o(\beta)$

2.Các bài toán minh họa

Bài 1: Tìm giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 3}\frac{\tan (x-3)}{x^2-4x+3}$

Giải
Ta có: Khi $x\to 3$ thì $\tan (x-3)\sim (x-3)$

$$\lim\limits_{x\to 3}\frac{\tan (x-3)}{x^2-4x+3}=\lim\limits_{x\to 3}\frac{(x-3)}{(x-3)(x-1)}=\lim\limits_{x\to 3}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{2}$$


Bài 2:Tìm giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos mx}{x^2}$
Giải
Khi $x\to 0$ thì $\cos mx\sim 1-\frac{(mx)^2}{2}\Rightarrow 1-\cos mx\sim \frac{m^2x^2}{2}$

$$L=\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos mx}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{m^2x^2}{2x^2}=\frac{m^2}{2}$$

Bài 3: Tìm giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arctan \frac{7x}{4}}{e^{-2x}-1}$

Giải
Khi $x\to -$ ta có $$\arctan \frac{7x}{4}\sim \frac{7x}{4};\,e^{-2x}\sim 1-2x\Rightarrow e^{-2x}-1\sim (-2x)$$

Do đó $L=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arctan \frac{7x}{4}}{e^{-2x}-1}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{7x}{4}}{-2x}=-\frac{7}{8}$
Bài 4: Tính giới hạn sau $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{\sin \alpha x.\sin \beta x}$
Giải
Khi $x\to 0$ ta có $e^{\alpha x}-e^{\beta x}=e^{\beta x}[e^{x(\alpha -\beta)}-1]\sim e^{\beta x}(\alpha -\beta)x$

$$\sin \alpha x\sim \sin \beta x=2\sin \frac{(\alpha-\beta )x}{2}.\cos \frac{x(\alpha +\beta)}{2}\sim (\alpha-\beta)x\cos \frac{(\alpha+\beta)x}{2}$$

$$L=\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{\sin \alpha x.\sin \beta x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{\beta x}}{\cos \frac{(\alpha+\beta)x}{2}}=1$$
Bài 5:Tính giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin \sin \tan \frac{3x^2}{2}}{\ln \cos 5x}$
Giải
$$L=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin \sin \tan \frac{3x^2}{2}}{\ln \cos 5x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin \tan \frac{3x^2}{2}}{\cos 5x-1}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{3x^2}{2}}{-\frac{25x^2}{2}}=-\frac{-3}{25}$$
Bài 6:
Tìm giới hạn $\lim\limits_{x\to 0}(\cos 2x)^{cotg^2 3x}$
Giải
$$\lim\limits_{x\to 0}(\cos 2x)^{cotg^2 3x}=\lim\limits_{x\to 0}e^{cotg^2 3x\ln (\cos 2x)}=e^{\lim\limits_{x\to 0}cotg^2 3x\ln (\cos 2x)}$$

Khi $x\to 0$ ta có $cotg^2 3x=\frac{1}{\tan^2 3x}\sim \frac{1}{(3x)^2}$

$\cos 2x\sim 1-2x^2 \Rightarrow \ln (\cos 2x)=\ln (1-2x^2)\sim (-2x^2)$

Do đó $L=\lim\limits_{x\to 0}(\cos 2x)^{cotg^2 3x}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{-2x^2}{(3x)^2}}=e^{\frac{-2}{9}}$
Bài 7:Tìm giới hạn $\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^{x^2}-b^{x^2}}{(a^x-b^2)^2}$
Giải
Khi $x\to 0$ thì $a^{x^2}\sim 1+x^2 \ln a;b^{x^2}\sim 1+x^2 \ln b$

$a^{x}\sim 1+x \ln a;b^{x^2}\sim 1+x \ln b$

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^{x^2}-b^{x^2}}{(a^x-b^2)^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2(\ln a-\ln b)}{x^2(\ln a-\ln b)^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\ln a-\ln b)}{(\ln a-\ln b)^2}=\frac{1}{\ln \frac{a}{b}}$$


Qua một số bài toán ở trên chắc hẳn các cũng nắm được phần nào đó hiệu quả phương pháp này sau đây là bài tập đề nghị.

1. Tính giới hạn $L=\lim\limits_{x\to +0}\frac{\sqrt{x+1+2x^2}-1}{\sin 3x}$
2. Tính giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^{n+x}+a^{n-x}-2a^n}{x}\;\; (a>0)$
3. Tính giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\ln (1+3x)}$
4. Tính giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{a^{x^2}+b^{x^2}}{a^x+b^x} \right )^{\frac{1}{x}} $