Chứng minh đa thức sau bất khả quy trên Q[x] : $x^4-x^3+2x+1$

 Chứng minh đa thức sau bất khả quy trên Q[x] : $x^4-x^3+2x+1$
Lời giải:
Cách 1: Đặt $P(x)=x^4-x^3+2x+1$.
Nếu $P(x)$ có nghiệm $x_0$ hữu tỷ thì $x_0 \in \mathbb{Z}$ và $x_0|1 \Rightarrow x_0=\pm 1$. Thử vào: $P(\pm 1) \ne 0$
Do đó, nếu $P(x)$ khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$ thì $P(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ trong đó, $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$.
Đồng nhất thức, ta có:
$$\left\{ \begin{array}{l} a + c =  - 1 \\ b + d + ac = 0 \\ ad + bc = 2 \\ bd = 1 \\ \end{array} \right.$$
Giải hệ này, ta có:
$$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{ - 1 - \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } }}{2};c = \frac{{ - 1 + \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } }}{2} \\ b = \frac{{\left( {1 + \sqrt {21} } \right)\left( {5 + \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } } \right)}}{{20}} \\ d = \frac{{\left( {1 + \sqrt {21} } \right)\left( {5 - \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } } \right)}}{{20}} \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{ - 1 + \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } }}{2};c = \frac{{ - 1 - \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } }}{2} \\ b = \frac{{\left( {1 + \sqrt {21} } \right)\left( {5 - \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } } \right)}}{{20}} \\ d = \frac{{\left( {1 + \sqrt {21} } \right)\left( {5 + \sqrt {3 + 2\sqrt {21} } } \right)}}{{20}} \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$$
Các nghiệm này đều không là hữu tỷ nên $P(x)$ bất khả quy trong $\mathbb{Q}[x]$.
Cách 2:
Sử dụng khai triển Taylor ta viết lại $f(x) =(x-1)^4+3(x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)+3$
Ta có:
$$\left\{ \begin{array}{l} {a_0} = 1\not \vdots 3\\ {a_1} = 3;{a_2} = 3;{a_3} = 3;{a_4} = 3 \vdots 3\\ {a_4} = 3 \not \vdots {3^2} \end{array} \right.$$
Nên theo tiêu chuẩn $Eisenstein$ ta có $f$ bất khả quy trên $Q[x]$ $\blacksquare$