Processing math: 100%

Thứ Sáu, 8 tháng 1, 2016

Đề thi và lời giải VMO 2016

Ngày 1.

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ nhất:6/1/2016

Bài 1 (5 điểm). Giải hệ phương trình:\left\{\begin{matrix}6x-y+z^2=3 & & & \\ x^2-y^2-2z=-1 & & & \\ 6x^2-3y^2-y-2z^2=0 & & & \end{matrix}\right.(x,y,z\in\mathbb{R})

Bài 2 (5 điểm).

a)Cho dãy số a(n) xác định bởi a_{n}=\ln(2n^2+1)-\ln(n^2+n+1) với n=1,2....Chứng minh chỉ có hữu hạn số n sao cho \left \{ a_{n} \right \}< \frac{1}{2}

b)Cho dãy số b(n) xác định bởi b_{n}=\ln(2n^2+1)+\ln(n^2+n+1) với n=1,2....Chứng minh tồn tại vô hạn số n sao cho \left \{ b_n \right \}<\frac{1}{2016}

Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác ABCB,C cố định,A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn.Gọi D là trung điểm của BCE,F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AB,AC

a)Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.EF cắt AOBC lần lượt tại MN.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua điểm cố định

b)Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại E,F cắt nhau tại T.Chứng minh T thuộc đường thẳng cố định

Bài 4 (5 điểm). Người ta trồng hai loại cây khác nhau trên một miếng đất hình chữ nhật kích thước m\times n ô vuông (mỗi ô trồng một cây).Một cách trồng được gọi là ấn tượng nếu như:

i)Số lượng cây được trồng của hai loại cây bằng nhau

ii)Số lượng chênh lệnh của hai loại cây trên mỗi hàng không nhỏ hơn một nửa số ô của hàng đó và số lượng chênh lệnh của hai loại cây trên mỗi cột không nhỏ hơn một nửa số ô của cột đó

a)Hãy chỉ ra cách trồng ấn tượng khi m=n=2016

b)Chứng minh nếu có một cách trồng ấn tượng thì cả mn đều là bội của 4



Ngày 2.


Bài 5 (6 điểm). Tìm tất cả các số thực \alpha để tồn tại hàm số f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} thoả mãn
i) f(1)=2016.
ii) f \left( x+y+f(y) \right) = f(x)+ \alpha y với mọi x,y \in \mathbb{R}.

Bài 6 (7 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (với tâm O) có các góc ở đỉnh B,C đều nhọn. Lấy điểm M trên cung BC không chứ A sao cho AM không vuông góc với BC. AM cắt trung trực BC tại T. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOT cắt (O) tại N (N \ne A).
  • Chứng minh \angle BAM= \angle CAN.
  • Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và G là chân phân giác trong góc A của tam giác ABC. AI,MI,NI cắt (O) lần lượt tại D,E,F. Gọi P,Q tương ứng là giao điểm của DF với AMDE với AN. Đường tròn đi qua P và tiếp xúc với AD tại I cắt DF tại H (H \ne D), đường tròn đi qua Q và tiếp xúc với AD tại I cắt DE tại K (K \ne D). Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác GHK tiếp xúc với BC.
Bài 7 (7 điểm). Số nguyên dương n được gọi là số hoàn chỉnh nếu n bằng tổng các ước số dương của nó (không kể chính nó).
  • Chứng minh rằng nếu n là số hoàn chỉnh lẻ thì n có dạng n=p^sm^2 trong đó p là số nguyên tố có dạng 4k+1, s là số nguyên dương có dạng 4h+1m là số nguyên dương không chia hết cho p.
  • Tìm tất cả các số nguyên dương n>1 sao cho n-1\frac{n(n+1)}{2} đều là các số hoàn chỉnh.
Đáp án tham khảo: 

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025
Mudim v0.8 Tắt VNI Telex Viqr Tổng hợp Tự động Chính tảBỏ dấu kiểu mới [ Bật/Tắt (F9) Ẩn/Hiện (F8) ]