Tìm đa thức có hệ số thực thỏa mãn điều kiện

Tìm đa thức có hệ số thực thỏa :
i) $degP(x)\geq 1$
ii) $(x+1)(x^2-3)P^{''}(x)-(x^2+x)P'(x)+3P(x)=0$
iii) $P(1)=6$

Giải

Đặt $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0\Rightarrow P'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1$$

$$P''(x)=n(n-1)a_nx^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+...+2a_2$$

Thay vào $ii)$ ta có

$$\begin{matrix} (x+1)(x^2-3)[n(n-1)a_nx^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+...+2a_2]-\\ (x^2+x)[na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1]+12[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0]=0 \;\forall x \end{matrix}$$

Hay $[n(n-1)-n]a_nx^{n+1}+Q(x)=0;\forall x$ với $\deg Q(x)\le n$

$n(n-1)-n=0\Leftrightarrow n=2\Leftrightarrow  P(x)=ax^2+bx+c$

$$\Rightarrow (x+1)(x^2-3).2a-(x^2+x)(2ax+b)+3(ax^2+bx+c)=0 \forall x$$

$\Leftrightarrow x^2(3a-b)+2x(b-3a)+3(c-2a)=0$

$\Leftrightarrow 3a-b=c-2a=b-3a=0 \Rightarrow b=3a;c=2a$

$P(x)=ax^2+bx+c=ax^2+3ax+2a=a(x^2+3x+2)$

Mà $P(1)=6$ nên $6=6a\Rightarrow a=1$

Vậy $P(x)=x^2+3x+1$.