Cho dãy $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$ . Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to +\infty}n.u_n=0$

Cho dãy số dương $\{u_n\},n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn các điều kiện
1. $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$.
2. Tồn tại hằng số $M>0$ sao cho $\sum\limits_{k=1}^n u_k\le M \forall n\in \mathbb{N}$.
Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to +\infty}n.u_n=0$

Giải

Trước hết ta chứng minh $\lim_{n\to +\infty}u_n=0$

Lấy số $\alpha> 0$ nhỏ tùy ý.

Giả sử trong dãy số dương $\{u_n\}$ có vô số số hạng không nhỏ hơn $\alpha$

$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} u_k=+\infty$ trái với giả thiết (điều kiện 2 trong đề bài)

Vậy trong dãy số $\{u_n\}$ chỉ có hữu hạn số hạng không nhỏ hơn $\alpha$ và có vô số số hạng nhỏ hơn $\alpha$.Mà $\alpha$ là số dương nhỏ tùy ý nên suy ra $\lim_{n\to +\infty}u_n=0$

Từ đó, dãy $\{n.u_n\}$ hoặc có giới hạn bằng $0$ ; hoặc có giới hạn bằng số dương $a$ ; hoặc dần đến dương vô cực.

+ Giả sử dãy $\{n.u_n\}$ dần đến dương vô cực :

   Lấy số $b>M$ tùy ý.Khi đó tồn tại số tự nhiên $N_0$ sao cho $n.u_n>b$, với mọi $n>N_0$.

   Mặt khác, xét số $\frac{pb}{N_0+p-1}$ (với $p$ là số tự nhiên).Dễ thấy $\frac{pb}{N_0+p-1}>M$ nếu $p$ đủ lớn.

   Vậy với $p$ đủ lớn thì ta có :

  $u_1+u_2+...+u_{N_0}+...+u_{N_0+p-1}>\frac{b}{N_o}+\frac{b}{N_0+1}+...+\frac{b}{N_0+p-1}>\frac{pb}{N_0+p-1}>M$ trái với giả thiết trong đề bài.Vậy TH này loại.

+ Giả sử dãy $\{n.u_n\}$ có giới hạn bằng số dương $a$ :

   Điều đó có nghĩa là khi $n$ tiến đến vô cực thì số hạng $u_n$ càng gần với $\frac{a}{n}$.Mà $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{n}$ là chuỗi phân kỳ nên $\lim_{n\to +\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} u_k$ sẽ tiến đến vô cực, trái với giả thiết của đề bài.Vậy TH này cũng loại.

Như vậy chỉ còn một khả năng là $\lim_{n\to +\infty}n.u_n=0$