Cho dãy số dương \{u_n\},n\in \mathbb{N} thỏa mãn các điều kiện
1. u_{n+1}\le u_n+u_n^2.
2. Tồn tại hằng số M>0 sao cho \sum\limits_{k=1}^n u_k\le M \forall n\in \mathbb{N}.
Chứng minh rằng \lim\limits_{n\to +\infty}n.u_n=0
Trước hết ta chứng minh \lim_{n\to +\infty}u_n=0
Lấy số \alpha> 0 nhỏ tùy ý.
Giả sử trong dãy số dương \{u_n\} có vô số số hạng không nhỏ hơn \alpha
\Rightarrow \lim_{n\to +\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} u_k=+\infty trái với giả thiết (điều kiện 2 trong đề bài)
Vậy trong dãy số \{u_n\} chỉ có hữu hạn số hạng không nhỏ hơn \alpha và có vô số số hạng nhỏ hơn \alpha.Mà \alpha là số dương nhỏ tùy ý nên suy ra \lim_{n\to +\infty}u_n=0
Từ đó, dãy \{n.u_n\} hoặc có giới hạn bằng 0 ; hoặc có giới hạn bằng số dương a ; hoặc dần đến dương vô cực.
+ Giả sử dãy \{n.u_n\} dần đến dương vô cực :
Lấy số b>M tùy ý.Khi đó tồn tại số tự nhiên N_0 sao cho n.u_n>b, với mọi n>N_0.
Mặt khác, xét số \frac{pb}{N_0+p-1} (với p là số tự nhiên).Dễ thấy \frac{pb}{N_0+p-1}>M nếu p đủ lớn.
Vậy với p đủ lớn thì ta có :
u_1+u_2+...+u_{N_0}+...+u_{N_0+p-1}>\frac{b}{N_o}+\frac{b}{N_0+1}+...+\frac{b}{N_0+p-1}>\frac{pb}{N_0+p-1}>M trái với giả thiết trong đề bài.Vậy TH này loại.
+ Giả sử dãy \{n.u_n\} có giới hạn bằng số dương a :
Điều đó có nghĩa là khi n tiến đến vô cực thì số hạng u_n càng gần với \frac{a}{n}.Mà \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{n} là chuỗi phân kỳ nên \lim_{n\to +\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} u_k sẽ tiến đến vô cực, trái với giả thiết của đề bài.Vậy TH này cũng loại.
Như vậy chỉ còn một khả năng là \lim_{n\to +\infty}n.u_n=0
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét