Tìm số nghiệm nguyên $(x,y,z)$ của bất phương trình

Tìm số nghiệm nguyên $(x,y,z)$ của bất phương trình $x+y+z\le -2$ thỏa mãn $x\ge -20,y\ge -8,3\le z<10$



Giải

Đặt $x_1=x+20;x_2=y+8;x_3=z-3 (0\le x-3<7)$
Ta quy về tìm số nghiệm nguyên không âm của $x_1+x_2+x_3\le 23$  (1)

Ta có bổ đề sau:
Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình $x_1+x_2+...+x_m\le m (n,m\in \mathbb{N})$ bằng $C_{m+n}^m$

Áp dụng ta có số nghiệm nguyên không âm của (1) bằng số nghiệm nguyên không âm của
$$x_1+x_2+x_3+x_4= 23\;\; (0\le x_3\le 6)$$
Ta lần lượt cho $x_3=0;1;2;...;6$
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số nghiệm thu được là
$C_{25}^2+C_{24}^2+C_{23}^2+C_{22}^2+C_{21}^2+C_{20}^2+C_{19}^2$