Có bao nhiêu cách chia 20 viên kẹo cùng loại cho 3 người, trong đó mỗi người không được ít hơn 3 viên kẹo và không quá 10 viên kẹo.

Có bao nhiêu cách chia 20 viên kẹo cùng loại cho 3 người, trong đó mỗi người không được ít hơn 3 viên kẹo và không quá 10 viên kẹo.

Ta quy về bài toán: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình $$x_1+x_2+x_3=20 (3\le x_1,x_2,x_3\le 10) \;\; (1)$$

Đặt $y_i=x_i-3;\forall i=\overline{1,3}$ . Từ giả thiết suy ra $7\ge y_i\ge 0$.
Ta có $y_1+y_2+y_3=11; 0\le y_i\le 7 $
Gọi $|X|$ là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình $y_1+y_2+y_3=11$.
Ta có $|X|=C_{13}^2$
Gọi $A,B,C$ lần lượt là tập tất cả các nghiệm nguyên của 4 phương trình
$$y_1+y_2+y_3=11\;(y_1,y_2,y_3\ge 8) $$
Ta có: $|A|=|B|=|C|=C_3^1$
$|A\cap B|=|A\cap C|=|C\cap B|=0$
$|A\cap B\cap C|=0$.
Theo nguyên lý bù trừ ta có số nghiệm cần tìm là
$$|X|-(|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|C\cap B|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|)=C_{13}^2-4.C_3^1$$