Processing math: 0%

Thứ Sáu, 2 tháng 1, 2015

Có bao nhiêu cách chia 20 viên kẹo cùng loại cho 3 người, trong đó mỗi người không được ít hơn 3 viên kẹo và không quá 10 viên kẹo.

Có bao nhiêu cách chia 20 viên kẹo cùng loại cho 3 người, trong đó mỗi người không được ít hơn 3 viên kẹo và không quá 10 viên kẹo.

Ta quy về bài toán: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x_1+x_2+x_3=20 (3\le x_1,x_2,x_3\le 10) \;\; (1)

Đặt y_i=x_i-3;\forall i=\overline{1,3} . Từ giả thiết suy ra 7\ge y_i\ge 0.
Ta có y_1+y_2+y_3=11; 0\le y_i\le 7
Gọi |X| là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình y_1+y_2+y_3=11.
Ta có |X|=C_{13}^2
Gọi A,B,C lần lượt là tập tất cả các nghiệm nguyên của 4 phương trình
y_1+y_2+y_3=11\;(y_1,y_2,y_3\ge 8)
Ta có: |A|=|B|=|C|=C_3^1
|A\cap B|=|A\cap C|=|C\cap B|=0
|A\cap B\cap C|=0.
Theo nguyên lý bù trừ ta có số nghiệm cần tìm là
|X|-(|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|C\cap B|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|)=C_{13}^2-4.C_3^1

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025