Bài tập ôn toán rời rạc

Logic mệnh đề
1) Kiểm tra suy luận sau
$$\begin{array}{l} t \to u\\ r \to \left( {s \vee t} \right)\\ \left( {\neg p \vee q} \right) \to r\\ \underline {\neg \left( {s \vee u} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ \therefore p \end{array}$$

2) Lập bảng chân trị
 a) $\neg p\to(p\vee q)$
b) $(p\wedge q) \to \neg q$
c) $\neg(\neg p \wedge \neg q)$

Ánh xạ
1) Cho tập hợp $X$ khác rỗng và $A,B,C\subset X$ chứng minh
a) $(A\cup B) \setminus (A\cup B) =B\setminus (A\cup C)$
b) $(A\cap B) \setminus (A\cap C) =A\cap (B\setminus C)$
c) $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)=(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)$

2) Trong các trường hợp sau hãy xem ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Tìm ánh xạ ngược của song ánh
a) $f:(0;+\infty) \to \mathbb{R}$ định bởi $f(x)=\ln^2 x-2\ln x+3$
b) $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ định bởi $f(x)=e^{2x}+2e^x+3$
c) $f: R\to (3;+\infty)$ định bởi $f(x)=e^{2x}+2e^x+3$
d) X = [1; 2], Y = [1;7], $f(x)={{x}^{2}}+3x-3$
e) $X=Y=\mathbb{R},f(x)=3x-4|x|;$
f)  $X=\mathbb{R},Y=[0;5],f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}+{{x}^{4}}};$

Chứng minh đẳng thức về ánh xạ 

1) Cho $f:X\to Y$là ánh xạ, A và B là các tập con của X, C và D là các tập con của Y. Chứng minh:

${\rm{a}}{\rm{. }}f(A \cup B) = f(A) \cup f(B);$

${\rm{b}}{\rm{. }}{f^{ - 1}}(C \cup D) = {f^{ - 1}}(C) \cup {f^{ - 1}}(D);$

${\rm{c}}{\rm{. }}{f^{ - 1}}(C \cap D) = {f^{ - 1}}(C) \cap {f^{ - 1}}(D);$

${\rm{d}}{\rm{. }}f(X\backslash A) \supset f(X)\backslash f(A);$

${\rm{e}}{\rm{. }}{f^{ - 1}}(Y\backslash C) = X\backslash {f^{ - 1}}(C).$

2)   Giả sử $f:X\to Y$ là ánh xạ và $A\subset X;B\subset Y$. Chứng minh:

a) ${{f}^{-1}}(f(A))\supset A$ và $f({{f}^{-1}}(B))\subset B$;

b) ${{f}^{-1}}(f(A))=A$, với mọi $A\subset X$ khi và chỉ khi f  là đơn ánh.

c) $$f({{f}^{-1}}(B))=B$$ , với mọi $B\subset Y$ khi và chỉ khi f  là toàn ánh.

Phép đếm
1) Tìm số nghiệm nguyên không âm $x_1+x_2+x_3\le 11$
2) Có biêu nhiêu bộ 3 số nguyên không âm $(x_1,x_2,x_3)$ thỏa  $x_1+x_2+x_3\le 15$ trong đó $x_1>2,x_2<4$
3) Tìm sốc các chuỗi nhịphân chiều dài n chứa chuỗi con 00.
Hệ thức truy hồi
Cho dãy xác định bởi $4x_{n+1}-12x_n+9x_{n-1}=0;x_0=2;x_1=4$ tìm cttq dãy số.
Đáp số : $x_n=(3+n)(\frac{3}{2})^{n-1}$
Cho dãy xác định bởi $x_{n+2}-2x_{n+1}+4x_n=0;x_1=4;x_2=4$. Tìm CTTQ.

Đáp số: $x_n=2^n\left(\cos \frac{n\pi}{3}+\sqrt{3}\sin \frac{n\pi}{3} \right )$

$2x_n-3x_{n-1}+x_{n-2}=4n+1$

$x_{n+1}-6x_n+9x_{n-1}=(18n+12)3^n;x_0=2;x_1=0$

$x_n-3x_{n-1}+2x_{n-2}=20+n2^{n-2}+3^n$

Quan hệ
1) Tìm phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ nhất của tập hợp sau theo hệ chia hết $A=\{2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,30,40\}$
2) Trên tập số thực $R$ cho quan hệ S như sau :$\forall x,y\in \mathbb{R},xSy \iff x^3\le y^3$ . Chứng minh rằng S là quan hệ thứ tự
3) Xét quan hệ $R$ trên $\mathbb{Z}$ xác định bởi $\forall x,y\in \mathbb{Z},xRy \iff \exists n\in \mathbb{Z},x=y2^n$.
a) Chứng minh $R$ là một quan hệ tương đương.
b) Trong số các lớp tương đương $\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}$ có baoa nhiêu lớp đôi một phân biệt?

Đại số Boole
1)Tìm dạng nối rời chính tắc và lập bảng chân trị của các hàm Bool theo 3 biến x, y, z sau
$$\begin{array}{l} a)\,f(x,y,z) = xy + \bar xz\\ b)\,f(x,y,z) = xy + yz + xz\\ c)\,f(x,y,z) = xyz + \bar x\bar z\\ d)\,f(x,y,z) = (x + yz)(\bar x + \bar y\bar z)\\ e)\,f(x,y,z) = x\bar y(z + \bar xy) \end{array}$$
2) Vẽ sơ đồ các mạch hàm Boole sau
$$\begin{array}{l} a)\,f(x,y,z) = xy + \bar xz\\ b)\,f(x,y,z) = xy + yz + xz\\ c)\,f(x,y,z) = xyz + \bar x\bar z\\ d)\,f(x,y,z) = (x + yz)(\bar x + \bar y\bar z)\\ e)\,f(x,y,z) = x\bar y(z + \bar xy) \end{array}$$