Tìm GTNN của $F=\frac{1}{1+a^6}+\frac{2}{1+b^3}+\frac{3}{1+c^2}+6\sqrt{1+abc(abc-1)}$

Cho $a,b,c\ge 1$ tìm GTNN của $$F=\frac{1}{1+a^6}+\frac{2}{1+b^3}+\frac{3}{1+c^2}+6\sqrt{1+abc(abc-1)}$$
Trích đề thi thử TT BDVH 218 Lý Tự Trọng

Ta sử dụng 2 bổ đề quen thuộc sau
$a,b,c\ge 1$ thì $$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge \frac{2}{1+ab}$$
$$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge \frac{3}{1+abc}$$

Ta có: $$\frac{1}{1+a^6}+\frac{1}{1+c^2}\ge \frac{2}{1+ca^3}$$

$$2\left(\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+b^3} \right )\ge \frac{4}{1+c\sqrt{c^3}}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{1+a^6}+\frac{2}{1+b^3}+\frac{3}{1+c^2}=2 \left(\frac{1}{1+ca^3}+\frac{1}{1+c\sqrt{b^3}}+\frac{1}{1+c\sqrt{b^3}} \right )\ge \frac{6}{abc}$$

Đặt $t=abc \; t\ge 1$

Xét $f(t)=\frac{6}{t+1}+6\sqrt{1-t+t^2} \; (t\ge 1)$

 $$f'(t)=-\frac{6}{(1+t)^2}+\frac{3(2t-1)}{\sqrt{1-t+t^2}}> -\frac{6}{(1+t)^2}+\frac{3}{\sqrt{t^2+1-t}}>0;\; \forall t>1$$

Do $\frac{1}{\sqrt{t^2-t+1}}>\frac{2}{t^2+2t+1}$

$$\Leftrightarrow (t^2+2t+1)^2 >4(t^2-t+1)$$

$$\Leftrightarrow [(t^2+t)+(t+1)]\ge 4(t^2+t)(t+1)=4t(t+1)^2 >4(t^2-t+1)$$

Do đó $f'(t)>0;\forall t>1$
Vậy $f(t)$ đồng biến trên $[1;+\infty)$
$f(1)=9$
Do đó $F\ge f(1)=9$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$