Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} y(y+2x+23)=3x^2+19x-22(1)\\ \sqrt{3x+7}=\frac{5}{x+y} +\sqrt{y+7}(2) \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
y(y+2x+23)=3x^2+19x-22(1)\\
\sqrt{3x+7}=\frac{5}{x+y} +\sqrt{y+7}(2)
\end{matrix}\right.$
Trích đề thi thử ĐH TT BDVH 218 Lý Tự Trọng


Giải
Điều kiện $x\neq y; x\ge \frac{-7}{3};y\ge -7$
$$\left\{\begin{matrix}
(y-x+1)(y+3x+22)=0\\
\sqrt{3x+7}=\frac{5}{x+y} +\sqrt{y+7}
\end{matrix}\right.$$
TH1: $y+3x+22 \ge -7-7+22>0$
Do đó loại TH này.
TH2: $x=y+1$
Thay vào (2) ta được $$\sqrt{3y+10}=\frac{5}{2y+1}+\sqrt{y+7}$$
Xét $f(y)=\sqrt{3y+10}-\frac{5}{2y+1}-\sqrt{y+7}; \;\; y\neq \frac{-1}{2}; y\ge -\frac{10}{3}$
$$f'(y)=\frac{3}{2\sqrt{3y+10}}+\frac{10}{(2y+1)^2}-\frac{1}{2\sqrt{y+7}};\; \forall y\neq -\frac{1}{2};y>-\frac{10}{3}$$
Ta có $\frac{3}{2\sqrt{3y+10}}>\frac{1}{2\sqrt{y+7}}$
$\Leftrightarrow y+\frac{53}{6}>0$ (đúng)
Do đó $f'(y)>0 \forall y\neq -\frac{1}{2};y>-\frac{10}{3}$
Vậy $f(y)$ đồng biến trên $\left(-\frac{10}{3};-\frac{1}{2} \right ), \left(-\frac{1}{2};+\infty \right )$
Kẻ bảng biến thiên ta thấy $y=2 \vee y=-3$ là 2 nghiệm phương trình (chú ý ở bảng biến thiên hàm số gián đoạn tại điểm $y=\frac{-1}{2}$
Nếu $y=2 \to x=3; y=-3\to x=-2$.