Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} y(y+2x+23)=3x^2+19x-22(1)\\ \sqrt{3x+7}=\frac{5}{x+y} +\sqrt{y+7}(2) \end{matrix}\right.
Trích đề thi thử ĐH TT BDVH 218 Lý Tự Trọng
Giải
Điều kiện x\neq y; x\ge \frac{-7}{3};y\ge -7
\left\{\begin{matrix} (y-x+1)(y+3x+22)=0\\ \sqrt{3x+7}=\frac{5}{x+y} +\sqrt{y+7} \end{matrix}\right.
TH1: y+3x+22 \ge -7-7+22>0
Do đó loại TH này.
TH2: x=y+1
Thay vào (2) ta được \sqrt{3y+10}=\frac{5}{2y+1}+\sqrt{y+7}
Xét f(y)=\sqrt{3y+10}-\frac{5}{2y+1}-\sqrt{y+7}; \;\; y\neq \frac{-1}{2}; y\ge -\frac{10}{3}
f'(y)=\frac{3}{2\sqrt{3y+10}}+\frac{10}{(2y+1)^2}-\frac{1}{2\sqrt{y+7}};\; \forall y\neq -\frac{1}{2};y>-\frac{10}{3}
Ta có \frac{3}{2\sqrt{3y+10}}>\frac{1}{2\sqrt{y+7}}
\Leftrightarrow y+\frac{53}{6}>0 (đúng)
Do đó f'(y)>0 \forall y\neq -\frac{1}{2};y>-\frac{10}{3}
Vậy f(y) đồng biến trên \left(-\frac{10}{3};-\frac{1}{2} \right ), \left(-\frac{1}{2};+\infty \right )
Kẻ bảng biến thiên ta thấy y=2 \vee y=-3 là 2 nghiệm phương trình (chú ý ở bảng biến thiên hàm số gián đoạn tại điểm y=\frac{-1}{2}
Nếu y=2 \to x=3; y=-3\to x=-2.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét