Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và d đạt GTNN.

Cho Parabol $(P)=x^2,$ đường thẳng đi qua $A(1,4)$ và có hệ số góc $k$. Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và d đạt GTNN.
 Đề thi thử Newstudy lần 19


Giải
Giả sử đường thẳng $(D)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $A(a;a^2);B(b;b^2) (b>a)$.
$\Rightarrow (D):y=(b+a)x-ab$
$$S=\int_a^b |x(a+b)-ab-x^2|=\int_a^b |(x-a)(x-b)|dx=-\int_a^b(x-a)(x-b)dx=-\int_a^b (x^2-(a+b)x+ab)dx$$
 $$=\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{b+a}{2}x^2+ab x \right )\bigg|_a^b=\frac{(a-b)^3}{6}$$

$(D)$ đi qua $A(1;4)$  nên $4+ab=a+b$
$$S^2=\frac{1}{36}[(a-b)^2]^3=\frac{1}{36}[(ab+4)^2-4ab]^3=\frac{1}{36} [(ab+2)^2+12]^3\ge 48$$

Vậy $S$ min $=\sqrt{48}$ khi đó $ab=-2; \Rightarrow a+b=2$

$\Rightarrow (D):y=x(a+b)-ab \Rightarrow y=(ab+4)x-ab\Rightarrow y=2x+2$
Do đó $k=2$