Tính tích phân \int_0^4 \frac{dx}{x+3+\sqrt{x^2+9}}
Trích đề thi thử TT BDVH 218 Lý Tự Trọng
Giải
Đặt \sqrt{x^2+9}=-x+t
\Rightarrow x^2+9=(-x+t)^2=x^2-2xt+t^2 \Rightarrow x=\frac{9-t^2}{-2t}
dx=\frac{9+t^2}{2t^2}
Đổi cận x=0 \to t=3; x=4 \to t=9
I=\int_3^9 \frac{9+t^2}{2t^2(3+t)}dt=\int_3^9 \frac{9}{2t^2(3+t)}dt+\frac{1}{2}\int_3^9 \frac{1}{3+t}dt
I= \frac{9}{2}I_1+\frac{1}{2}\ln |3+t| \bigg|_3^9
I_1=\int_3^9 \frac{1}{t^2(3+t)}
Tới đây ta dùng hệ số bất định như sau \frac{1}{t^2(3+t)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{3+t}
Phần còn lại khá đơn giản xin dành cho bạn đọc ....
Ở đây ta đã dùng phép thế Euler (Euler substitution)
Phép thế Euler để hữu tỉ hóa những bài tích phân có dạng I=\int f(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx tức ta chuyển tích phân này về tích phân của các hàm hữu tỉ.
a) Phép thế thứ nhất
Nếu a>0 đặt \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}.x\pm t hoặc đặt \sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm \sqrt{a} .x
b) Phép thế thứ 2
Nếu c>0, đặt \sqrt{ax^2+bx+c}=x\pm\sqrt{c}
c) Phép thế thứ 3
Nếu phương trình ax^2+bx+c=0 có 2 nghiệm thực x_1,x_2 thì ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) thì ta đặt \sqrt{ax^2+bx+c}=a(x-x_1)(x-x_2)
Tương tự tính tích phân sau I=\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}}
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét