Tính tích phân $\int_0^4 \frac{dx}{x+3+\sqrt{x^2+9}}$

Tính tích phân  $$\int_0^4 \frac{dx}{x+3+\sqrt{x^2+9}}$$
Trích đề thi thử TT BDVH 218 Lý Tự Trọng


Giải
Đặt $\sqrt{x^2+9}=-x+t$
$\Rightarrow x^2+9=(-x+t)^2=x^2-2xt+t^2 \Rightarrow x=\frac{9-t^2}{-2t}$

$dx=\frac{9+t^2}{2t^2}$

Đổi cận $x=0 \to t=3; x=4 \to t=9$

$$I=\int_3^9 \frac{9+t^2}{2t^2(3+t)}dt=\int_3^9 \frac{9}{2t^2(3+t)}dt+\frac{1}{2}\int_3^9 \frac{1}{3+t}dt$$

$$I= \frac{9}{2}I_1+\frac{1}{2}\ln |3+t| \bigg|_3^9$$

$$I_1=\int_3^9 \frac{1}{t^2(3+t)}$$
Tới đây ta dùng hệ số bất định như sau $ \frac{1}{t^2(3+t)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{3+t}$
Phần còn lại khá đơn giản xin dành cho bạn đọc ....


Ở đây ta đã dùng phép thế Euler (Euler substitution)
Phép thế Euler để hữu tỉ hóa những bài tích phân có dạng $$I=\int f(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx$$ tức ta chuyển tích phân này về tích phân của các hàm hữu tỉ.
a) Phép thế thứ nhất
Nếu $a>0$ đặt $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}.x\pm t$ hoặc đặt $\sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm \sqrt{a} .x$
b) Phép thế thứ 2
Nếu $c>0$, đặt $\sqrt{ax^2+bx+c}=x\pm\sqrt{c}$
c) Phép thế thứ 3
Nếu phương trình $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm thực $x_1,x_2$ thì $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ thì ta đặt $\sqrt{ax^2+bx+c}=a(x-x_1)(x-x_2)$

Tương tự tính tích phân sau $I=\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}}$