Chứng minh $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$

Cho $a,b,c>0$ chứng minh $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$$



Đề chứng minh $A\ge B$ nếu nhận ra rằng $A\ge M; B\ge M$ hoặc $A\le M;B\le M$ , nhiều khi chứng minh $A-M\ge B-M$ có khi dễ dàng hơn chứng minh $A\ge B$. Bài toán trên sử dụng kĩ thuật này.
Giải
Giả sử $c$ nhỏ nhất.

Ta có: $$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-3=(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2)+(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{b}{a}-1)$$
$$=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}+\dfrac{ab+c^2-bc-ac}{ac}=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}$$
 $$ \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}-3=\frac{(a-b)^2}{(b+a)(b+c)}+\frac{(a-c)(a-b)}{(a+b)(b+c)}$$
Từ đó ta có  $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\ge \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}-3$$

Vậy ta có đpcm. $\square$

Ta có thể sử dụng phân tích sau: $$\frac{a+kc}{a+kb}+\frac{b+ka}{b+kc}+\frac{c+kb}{c+ka}-3=\frac{k^2}{(ka+c)(kb+c)}(a-b)^2+\frac{k[(k-1)a+(k^2-k+1)b+kc]}{(a+kb)(b+kc)(c+kb)}(a-c)(b-c)$$ để giải trường hợp tổng quát.