Cho $a,b,c>0$ chứng minh $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\ge \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

Cho $a,b,c>0$ chứng minh $$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\ge \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$$


Giải
Đặt $a=\frac{x}{2};b=\frac{y}{2};c=\frac{z}{2}\; (x,y,z>0)$
Thay vào ta được $$(x^2+4)(y^2+4)(z^2+1)\ge 5(x+y+z+2)^2$$

Đễ ý rằng trong 3 số $x^2-1;y^2-1;z^2-1$ luôn tồn tại 2 số cùng dấu giả sử 2 số đó là $x^2-1;y^2-1$. Khi đó áp dụng BĐT Weierstrass ta có $$[(x^2-1)+5][(y^2-1)+5]=25\left(\frac{x^2-1}{5}+1 \right )\left(\frac{y^2-1}{5}+1 \right )\ge 25\left(1+\frac{x^2+y^2-2}{5} \right )=5(x^2+y^2+3)$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $$(z^2+4)(x^2+y^2+3)\ge (x+y+z+2)^2$$
Điều này đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz
$$(z^2+1+1+1+1)(1+x^2+y^2+1+1)\ge (x+y+z+2)^2$$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$.


BĐT Weierstrass : Với mọi số thực $a_1,a_2,...,a_n$ cùng dấu và $>-1$ ta có
$$(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)\ge 1+a_1+a_2+...+a_n$$

Dấu "=" xảy ra khi $a_1=a_2=...=a_n=0$.
Các bạn có thể chứng minh bằng quy nạp toán học (có thể tham khảo trong SBT giải tích 11 nâng cao)