Tìm GTLN của $$P=(ab+bc+ac) \left[1+\sqrt{4-(a^2+2b^2+5c^2)^2} \right ]$$

Bài 1: Cho $a,b,c$ thực thỏa $a^2+2b^2+5c^2\le 2$. Tìm GTLN của $$P=(ab+bc+ac) \left[1+\sqrt{4-(a^2+2b^2+5c^2)^2} \right ]$$


Giải:
Ta có $$\frac{a^2}{\frac{1}{2}}+\frac{b^2}{\frac{1}{3}}+\frac{c^2}{\frac{1}{6}}\ge \frac{(a+b+c)^2}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=(a+b+c)^2$$

Do đó $$a^2+2b^2+5c^2 \ge 2(ab+ac+bc)$$
Áp dụng BĐT trên ta được $$P\le \frac{a^2+2b^2+5c^2}{2}\left[1+\sqrt{4-(a^2+2b^2+5c^2)} \right ]$$
Đặt $t=a^2+2b^2+5c^2\; ; t\in [0;2]$
Xét hàm số $f(t)= \frac{t}{2}(1+\sqrt{4-t^2});\;\;\; t\in [0;2]$

Khảo sát hàm số này ta được
Do đó $P\le f(2)=1$.

Bài 2: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTLN của $$P=\frac{5}{\sqrt{a^2+2b^2+5c^2+3}+1}-\frac{4}{ab+bc+ac+1}$$
Áp dụng bổ đề trên ta được
$$P\le \frac{5}{\sqrt{2(ab+bc+ac)+3}+1}-\frac{4}{ab+bc+ac+1}$$

Đặt $t=ab+bc+ac;\; t>0$
Xét hàm số $$f(t)=\frac{5}{\sqrt{2t+3}+1}-\frac{4}{t+1}; t>0$$

$$f'(t)=\frac{4}{(t+1)^2}-\frac{5}{\sqrt{2t+3}\left(\sqrt{2t+3}+1 \right )^2}; \; \forall t>0$$
$$f'(t)=0 \Leftrightarrow t=11$$

Kẻ bảng biến thiên ta được $$P\le f(11)=\frac{1}{2}$$
Vậy $P$ đạt GTLN là $\frac{1}{2}$