Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\frac{(x+y-z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy}+\frac{(y+z-x)^2}{x^2+y^2+z^2+2yz}+\frac{(z+x-y)^2}{x^2+y^2+z^2+2xz}$$

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\frac{(x+y-z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy}+\frac{(y+z-x)^2}{x^2+y^2+z^2+2yz}+\frac{(z+x-y)^2}{x^2+y^2+z^2+2xz}$$

Đề thi thử lần 2 chuyên Lê Quý Đôn - Đà Năng
Lời giải

Ta có: $\frac{(x+y-z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy}=\frac{(3-2z)^2}{(x+y)^2+z^2}=\frac{(3-2z)^2}{(3-z)^2+z^2}=\frac{4z^2-12z+9}{2z^2-6z+9}$

Ta có đánh giá sau $\frac{4z^2-12z+9}{2z^2-6z+9}\ge \frac{-18}{25}(x-1)+\frac{1}{5}$
Thật vậy BĐT tên tương đương với $18(z-1)^2(2z+1)\ge 0 \forall (z>0)$

Thiết lập tương tự rồi cộng lại ta có đpcm