Processing math: 100%

Thứ Sáu, 11 tháng 4, 2014

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 TRUYỀN THỐNG LỚP 11 LẦN XX NĂM 2014

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 TRUYỀN THỐNG LỚP 11 LẦN XX NĂM 2014



Câu 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1\\ 125{y^8} - 125{y^3} + 6\sqrt {15}  = 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,(x,y \in \mathbb{R})
Bài 2: (4 điểm) Cho dãy số (u_n) xác định bởi :
\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}},\forall n \ge 1 \end{array} \right.
a. Chứng minh u_{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n},\forall n\ge 1

b. Chứng minh dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3: (3 điểm)

Hai đường tròn (O_1,R_1)(O_2,R_2) \; (R_1>R_2) cắt nhau tại hai điểm MM'. Một tiếp tuyến chung T_1T_2 của hai đường tròn cắt đường thẳng O_1O_2 tại P (T_1 thuộc (O_1), T_2 thuộc (O_2)). Đường thẳng PM cắt (O_1)(O_2) lần lượt tại M_1M_2 khác M. Đường thẳng PM' cắt (O_1)(O_2) lần lượt tại M_1'M_2' khác M'. Gọi A,B,C,D lần lượt là trung điểm của MM_1,MM_2,MM_3,M'M_1', M'M_2'. Chứng minh rằng A,B,C,D nằm trên một đường trọn và đường tròn này tiếp xúc T_1T_2.

Câu 4: (3 điểm)
Xác định các đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn P(x)P(x^2)=P(x^3+3x), \forall x\in \mathbb{R}

Câu 5: (3 điểm)
Cho hai số tự nhiên mn sao cho m>n\ge 1. Biết rằng hai chữ số tần cùng của 2014^m bằng với hai chữ số tận cùng của 2014^n theo cùng thứ tự. Tìm các số mn sao cho tổng m+n có giá trị nhỏ nhất.
Câu 6: (3 điểm)
Cho đa giác đều 9 đỉnh A_1A_2...A_9. Mỗi đỉnh của đa giác hoặc có màu đỏ hoặc có màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác phân biết bằng nhau có tất cả các đỉnh là đỉnh của đa giác cùng màu.

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025