ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 TRUYỀN THỐNG LỚP 11 LẦN XX NĂM 2014

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 TRUYỀN THỐNG LỚP 11 LẦN XX NĂM 2014

Câu 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
125{y^8} - 125{y^3} + 6\sqrt {15}  = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,(x,y \in \mathbb{R})\]
Bài 2: (4 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :
\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}},\forall n \ge 1
\end{array} \right.\]
a. Chứng minh $u_{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n},\forall n\ge 1$

b. Chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3: (3 điểm)

Hai đường tròn $(O_1,R_1)$ và $(O_2,R_2) \; (R_1>R_2)$ cắt nhau tại hai điểm $M$ và $M'$. Một tiếp tuyến chung $T_1T_2$ của hai đường tròn cắt đường thẳng $O_1O_2$ tại $P$ ($T_1$ thuộc $(O_1), T_2$ thuộc $(O_2)$). Đường thẳng $PM$ cắt $(O_1)$ và $(O_2)$ lần lượt tại $M_1$ và $M_2$ khác $M$. Đường thẳng $PM'$ cắt $(O_1)$ và $(O_2)$ lần lượt tại $M_1'$ và $M_2'$ khác $M'$. Gọi $A,B,C,D$ lần lượt là trung điểm của $MM_1,MM_2,MM_3,M'M_1', M'M_2'$. Chứng minh rằng $A,B,C,D$ nằm trên một đường trọn và đường tròn này tiếp xúc $T_1T_2.$

Câu 4: (3 điểm)
Xác định các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $P(x)P(x^2)=P(x^3+3x), \forall x\in \mathbb{R}$

Câu 5: (3 điểm)
Cho hai số tự nhiên $m$ và $n$ sao cho $m>n\ge 1$. Biết rằng hai chữ số tần cùng của $2014^m$ bằng với hai chữ số tận cùng của $2014^n$ theo cùng thứ tự. Tìm các số $m$ và $n$ sao cho tổng $m+n$ có giá trị nhỏ nhất.
Câu 6: (3 điểm)
Cho đa giác đều 9 đỉnh $A_1A_2...A_9$. Mỗi đỉnh của đa giác hoặc có màu đỏ hoặc có màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác phân biết bằng nhau có tất cả các đỉnh là đỉnh của đa giác cùng màu.