Ứng dụng của 1 bổ đề

Ứng dụng của 1 bổ đề

Ta có bổ đề sau:

Cho $a,b,c \in [ m;n]$ thỏa mãn   $a+b+c=p$ trong đó $2m + n \le p \le m + 2n$ thì ta có

$$a^2 + b^2 + c^2 \le m^2 + n^2 + ( p - m - n)^2 $$

Đẳng thức xảy ra khi $a,b,c$ là các số$m,n,p-m-n$

Để chứng minh bổ đề trên các bạn có thể xuất phát từ bất đẳng thức sau:

$$( a - m) ( b - m) (c - m) + ( n - a )( n - b )( n - c ) \ge 0$$

Sau khi khai triển trực tiếp ta sẽ có ngay điều cần chứng minh.

Sau đây là ví dụ minh họa 

Ví dụ 1

Cho $x,y,z$ thỏa mãn $x,y,z \in [ 0;2 ]\& x + y + z = 3 $ tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

$P = x^2 + y^2 + z^2 $ 

$Q = ( x - 4 )^2 + ( y - 1 )^2 + ( z - 1 )^2 $ 

$E = ( x - 1 )^2 + ( y - \frac{1}{2} )^2 + ( z - 4 )^2 $ 

$F = ( x - 1 )^2 + 2y^2 + 3( z - 4 )^2 $ 

Hướng dẫn

Áp dụng bổ đề ta có ngay $\max P=5$ đạt được khi $(x;y;z)=(0;1;2)$ và các hoán vị. 

Ta sẽ đưa đoạn $[0;2]$ về đoạn đối xứng $[-1;1]$ . Muốn vậy ta đặt $a=x-1;b=y-1;c=z-1$ suy ra

$a,b,c \in [ - 1;1 ];a + b + c = 0$ theo bổ đề ta có

$$a^2 + b^2 + c^2 \le 2$$

Từ đây ta có điều cần chứng minh. 

Hơn nữa ta có thể chứng minh được $x^2+y^2+z^2 \ge 3$

$Q = a^2 + b^2 + c^2 - 6a + 9 \le 17$ Suy ra $GTLN Q=17$ khi $(a;b;c)=(-1;1;0)$ hoặc $(a;b;c)=(-1;0;1)$ hay $(x;y;z)=(0;2;1)$ hoặc$(x;y;z)=(0;1;2)$

$$E = a^2 + b^2 + c^2 + b - 6c + \frac{37}{4} \le 2 + 1 + 6 + \frac{37}{4} = \frac{73}{4}$$

Suy ra $GTLN E=73/4$ khi $(a;b;c)=(0;1;-1)$ hay $(x;y;z)=(1;2;0)$

$$F = a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 4b - 18c + 29 \le 2 + b^2 + 2c^2 + 4b - 18c + 29 \le 2 + 1+2 + 4 + 18 + 29 = 56$$

Suy ra $GTLN F=56$ khi $(a;b;c)=(0;1;-1)$hay $(x;y;z)=(1;2;0)$.

Ví dụ 2:

Cho $a,b,c \in [ - 1;1 ]; a + b + c = 0$ tìm GTLN của biểu thức

$A = a^{2006} + b^{2008} + c^{2010} $

HD:

Có $A \le a^{2} + b^{2} + c^{2} $ vì $-1\le a,b,c\le 1$ mà theo bổ đề suy ra $GTLN A=2$ đạt được $(a;b;c)=(-1;0;1)$ và các hoán vị.

Thông qua hai ví dụ trên các bạn có thể thấy được cái hay của bổ đề.,Ngoài ra từ bổ đề các bạn có thể Chế ra được nhiều bài toán khác

Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho $x,y,z\in [0;2]$ thỏa $x+y+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $$P=x^3+y^3+z^3-3(x-1)(y-1)(z-1)$$

 Bài 2: Cho $a,b,c\in [-2;3]$ thỏa $a+b+c=2$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2\le 14$.