SỰ TƯƠNG ỨNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ AM-GM
Trước hết ta nhắc lại hai bất đẳng thức (BĐT)
BĐT AM-GM A_n=\dfrac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\geq \sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}=G_n \ \ \ \ (AG) với mọi x_k>0.
BĐT Bernoulli x^n\geq 1+n(x-1)\ \ \ \ (B) với bất kỳ x>0 và n\in\mathbb N.
Định lý. Hai bất đẳng thức (AG) và (B) là tương đương.
Chứng minh.
(B)\Rightarrow (AG). Do \dfrac{A_n}{A_{n-1}}>0 nên áp dụng (B) ta có \left(\dfrac{A_n}{A_{n-1}}\right)^n\geq 1+n\left(\dfrac{A_n}{A_{n-1}}-1\right)=\dfrac{A_{n-1}+nA_n-nA_{n-1}}{A_{n-1}}=\dfrac{nA_n-(n-1)A_{n-1}}{A_{n-1}}=\dfrac{x_n}{A_{n-1}}
hay A_n^n\geq x_n.A_{n-1}^{n-1} \ \ \ \ (C).
Áp dụng BĐT (C) liên tiếp ta được
A_n^n\geq x_n.A_{n-1}^{n-1}\geq x_n.x_{n-1}A_{n-2}^{n-2}\geq \cdots \geq x_n.x_{n-1}\ldots x_2.A_1=x_n.x_{n-1}\ldots x_1=G_n^n.
Do đó A_n\geq G_n.
(AG)\Rightarrow (B). Với n=1 ta có ngay (B). Nếu n\ge 2 và 0<x\leq 1-\dfrac{1}{n} thì x^n>0\leq 1+n(x-1), suy ra (B) đúng.
Do đó ta giả sử n\geq 2 và x>1-\dfrac{1}{n}\Rightarrow 1+n(x-1)>0.
Áp dụng (AG) cho n số 1+n(x-1),1,\ldots,1 (n-1 số 1) ta được
x^n=\left( \dfrac{1+n(x-1)+1+ \cdots +1}{n} \right)^n\geq 1+n(x-1), hay BĐT (B) được chứng minh.\blacksquare
Do đó để chứng minh BĐT AM-GM ta có thể sử dụng BĐT (B), mà để chứng minh (B) ta có một cách đơn giản như sau:
x^n-1-n(x-1)=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots x+1)-n(x-1)=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots x+1-n).
Đế ý rằng nếu x\geq 1 thì x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots x+1\geq n và nếu 0<x<1 thì x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots x+1< n, do đó BĐT (B) đúng.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét