Đề kiểm tra trường Đông Toán học -Lần 1

ĐỀ KIỂM TRA TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC MIỀN BẮC (Lần 1)

Bài 1. 
Cho dãy số $(a_n)_{n\geq 1}$ xác định bởi $a_1=\frac{3}{2}$ và :
$$a_{n+1}=a_n-\frac{3n+2}{2n(n+1)(2n+1)}\,\,\, \forall n\geq 1$$
Tìm $\text{lim}_{n\to \infty} a_n$.
Bài 2. 
Cho các số thực dương $a_1,a_2,...,a_{14}$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$\frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+...+\frac{a_{14}}{a_1+a_2}\geq \frac{a_1}{a_{14}+a_1}+\frac{a_2}{a_1+a_2}+...+\frac{a_{14}}{a_{13}+a_{14}}$$
Dấu "=" xảy ra khi nào ?
Bài 3.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). B,C cố định, BC không là đường kính, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm B đi qua A cắt AC và (O) lần lượt tại D và E. DE cắt (O) tại K.
 a) Chứng minh BK vuông góc với AC
 b) BK cắt AE tại F. Gọi M là giao điểm khác D của AC với đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF. Chứng minh rằng M thuộc đường thẳng cố định
Bài 4. 
Một trường có 800 học sinh. Trong trường có n câu lạc bộ cho các học sinh thỏa mãn điều kiện :
i) Không có em học sinh nào tham gia nhiều hơn 7 câu lạc bộ
ii) Với 7 câu lạc bộ bất kì luôn có ít nhất 1 học sinh tham gia cả 7 câu lạc bộ này
Hỏi giá trị lớn nhất n là bao nhiêu ?

ĐỀ KIỂM TRA TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC MIỀN NAM

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa $\begin{cases} a+b+c+d=10 \\ a^2+b^2+c^2+d^2=26 \end{cases}$.

a) Tìm Min và Max của $a$.

b) Tìm Min và Max của $S=a+b$.

Bài 2: Tìm các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R^+}$ thỏa $$\begin{cases} f(x^2)=[f(x)]^2-2xf(x) \\ f(-x) = f(x-1) \\ \text{ Nếu } 1<x<y \text{ thì } f(x)<f(y) \end{cases}$$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ có $AB<BC<CA$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I)$. Trên các tia $AB,AC$ lần lượt lấy $D,E$ sao cho $AD=AE=BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$. Dựng hình bình hành $BIJC$ và gọi $K$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Chứng minh:

a) $FA=FB+FC$

b) $F,J,K$ thẳng hàng.

Bài 4: Cho bàn cờ $7 \text{ x } 7$ ô. An có 1 quân unomino gồm 1 ô vuông. Bình có 1 quân trimino hình chữ L và 15 quân trimino hình chữ I. 

a) Chứng minh An có thể đặt quận unomino của mình vào 1 ô nào đó của bàn cờ để Bình không thể phủ phần còn lại bằng các quân trimino của mình.

b) Giả sử Bình có 2 quân trimino hình chữ L và 14 quân trimino hình chữ I. Chứng minh dù An có đặt quân unomino của mình vào ô nào thì Bình đều có thể phủ phần còn lại bằng các quân trimino của mình.

Ngày thi thứ hai: 28/11/2013

Thời gian làm bài 180 phút

Bài 1. Cho dãy số thực $(a_n)$ xác định bởi: $a_1 = \frac{1}{3} , a_2 = \frac{2}{7}$   và  $a_{n+1} = \frac{1}{2} + \frac{a_n}{3} + \frac{a_{n-1}^2}{6}$
 Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó

Bài 2. Giải hệ phương trình
$x(y+z) = x^2 + 2, y(z+x) = y^2 + 3, z(x+y) = z^2 + 4$

Bài 3. Cho ABC là tam giác nhọn. (I) là đường tròn nội tiếp có tâm là I, (O) là đường tròn ngoại tiếp tâm là O và M là trung điểm của đường cao AH, với H thuộc BC. (I) tiếp xúc với BC tại D. Đường thẳng MD cắt (I) tại điểm thứ hai P và đường thẳng qua I vuông góc MD cắt BC ở N. Đường thẳng NR, NS tiếp xúc (O) tương ứng tại R, S.
a)    Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Chứng minh M, D, J thẳng hàng.
b)    Chứng minh các điểm $R, P, D, S$ thuộc cùng một đường tròn.

Bài 4. Cho $n \ge 2$ là một số nguyên dương. Xét tập hợp các đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên từ điểm $A(0; 0)$ đến điểm $B(n; n)$. Một đường đi như thế sẽ tương ứng với một dãy gồm n lệnh T (lên trên) và n lệnh P (sang phải). Trong dãy đó, một cặp lệnh $(T, P)$ kề nhau được gọi là một bước chuyển (lưu ý, cặp (P, T) không được gọi là bước chuyển). Ví dụ dãy $PTTPTPPT$ có 2 bước chuyển. Hãy tìm số các đường đi ngắn nhất từ A đến B có đúng
    a) 1 bước chuyển;
    b) 2 bước chuyển;