VMO 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO_______________KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
  ĐỀ THI CHÍNH THỨC _____________________________________NĂM 2013
_____________________________________________Môn:Toán
_____________________________________________Thời gian:180 phút(không kể thời gian giao đề)
_____________________________________________Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013

Bài 1(5,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{align}
  & \sqrt{{{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}}=\sqrt{\frac{20y}{x+y}} \\
& \sqrt{{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}} \\
\end{align} \right.$



Bài 2(5,0 điểm):


Cho dãy số xác định như sau:
$\left\{ \begin{align}
  & {{a}_{1}}=1 \\
& {{a}_{n+1}}=3-\frac{{{a}_{n}}+2}{{{2}^{{{a}_{n}}}}} \\
\end{align} \right.,\forall n\ge 1$
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 3(5,0 điểm):

Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định

Bài 4(5,0 điểm): Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:

   a) Các số cho trước là: $1$ và $1000$?
   b) Các số cho trước là: $1,2,...,1000$ và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO_______________KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
  ĐỀ THI CHÍNH THỨC _____________________________________NĂM 2013
_____________________________________________Môn:Toán
_____________________________________________Thời gian:180 phút(không kể thời gian giao đề)
_____________________________________________Ngày thi thứ hai: 12/01/2013

Bài 5: (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$

Bài 6: (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định

Bài 7: (6,0 điểm)
Tìm số các bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
\[\left\{ \begin{array}{l}
ab + a'b' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
ac + a'c' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
bc + b'c' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.\]
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}$