Tính : $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {b_n}$

Cho các dãy $({a_n})$ va  $({b_n})$ được xác định như sau :
${a_n} = 1 + \frac{{n(1 + n)}}{{1 + {n^2}}} + ... + \frac{{{n^n}(1 + {n^n})}}{{1 + {n^{2n}}}}$   với mọi : $n \in {N^*}$
${b_n} = {\left( {\frac{{{a_n}}}{{n + 1}}} \right)^{\frac{1}{{n(n + 1)}}}}$     với mọi : $n \in {N^*}$
Tính : $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {b_n}$
Giải:

Thấy rằng $\forall n\in \mathbb{N}^{*}\; \;  và\; \; \forall k=\overline{1,n}$, ta có: $1 \leqslant \dfrac{{{n^k}\left( {1 + {n^k}} \right)}}{{1 + {n^{2k}}}} \leqslant 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Thật vậy, $$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 + {n^{2k}} \leqslant {n^k} + {n^{2k}} \leqslant 2 + 2{n^{2k}} \Leftrightarrow 1 \leqslant {n^k} \leqslant 2 + {n^{2k}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$

Vì (2) đúng $\forall n\in \mathbb{N}^{*}\; \;  và\; \; \forall k=\overline{1,n}$ nên (1) đúng. Từ công thức xác định của dãy số, suy ra:

$$n + 1 \leqslant {b_n} \leqslant 2n + 1 < 2\left( {n + 1} \right) \Rightarrow 1 \leqslant \dfrac{{{a_n}}}{{n + 1}} < 2$$

hay $$1 \leqslant {b_n} \leqslant {2^{\dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}}} < {2^{\dfrac{1}{n}}}\,;\,\,\,\forall n \in {N^*}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$

Theo BĐT AM - GM, thì: $${2^{\dfrac{1}{n}}} = \sqrt[n]{{2.\underbrace {1...1}_{n - 1\,\,so}}} < \dfrac{{2 + \underbrace {1 + ... + 1}_{n - 1\,\,so}}}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$$

Thay (4) vào (3), ta có: $$1 \leqslant {b_n} < 1 + \dfrac{1}{n}\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)$$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) = 1$ nên từ (5) và theo nguyên lí kẹp, suy ra $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = 1$

Vậy $\boxed{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = 1}$.

--------------------------------
Có thể sử dụng $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{p} = 1,\,\,p > 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {2^{\dfrac{1}{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1$.