Tìm $\alpha$ để $\lim n^{\alpha}(x_{n+1}-x_n)$ tồn tại và khác không.

Cho phương trình $x^n=x^2+x+1,n>2$. Chứng minh phương trình này có duy nhất nghiệm dương với mọi $n>2$, với mỗi $n$ gọi nghiệm dương này là $x_n$, tìm $\alpha$ để $\lim n^{\alpha}(x_{n+1}-x_n)$ tồn tại và khác không.

Lời giải:

• Nếu $x_n$ là nghiệm dương của phương trình $x^n=x^2+x+1$ thì $x_n>1$, và từ đây ta kết luận được phương trình $x^n=x^2+x+1$ có duy nhất một nghiệm dương.
• Dãy $(x_n)$ là một dãy giảm và $\lim x_n=1,\lim x_n^n=3$. Từ đây suy ra $\lim n\ln x_n=\ln 3$ hay $\lim n(x_n-1)=\ln 3$ và $\lim n(x_{n+1}-x_n)=0.$
• $\lim\frac{1}{n}\sum_{k=0}^nx_{n+1}^{k}x_n^{n-k}=3.\quad (*)$
• Ta có $n(x_{n+1}^n-x_n^n)=n(x_{n+1}-x_n)+\frac{n(1-x_{n+1})}{x_{n+1}}+n(1-x_n)(1+x_n)$, suy ra $\lim n(x_{n+1}^n-x_n^n)=-3\ln 3.$ Do $(*)$, khi đó ta có $\lim n^2(x_{n+1}-x_n)=-\ln 3.$

Vậy $\alpha =2$ là số cần tìm.