Hàm Zeta

Định nghĩa: Chuỗi $ \gamma(z)=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+...................+\frac{1}{n^z}+............$ được gọi là hàm Zeta
Sử dụng hàm Zeta , hãy chứng minh : $ \gamma(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...........+\frac{1}{n^2}+.......=\frac{\pi^2}{6}$
Ta có các nhận xét:

* Nếu đa thức $P\left( x \right) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}\,\,\left( {{a_0} \ne 0,\,{a_n} \ne 0} \right)$ có các nghiệm ${x_1};{x_2};...;{x_n} \in {R^*}$ thì

$P\left( x \right) = {a_n}\left( {1 - \frac{x}{{{x_1}}}} \right)\left( {1 - \frac{x}{{{x_2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{x}{{{x_n}}}} \right)\,\,\,\,\,\,(1)$

* $\sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{{x^{2n - 1}}}}{{\left( {2n - 1} \right)!}} + ...\,\,\,\,(2)$

* Hàm số $\frac{{\sin x}}{x}$ có vô số nghiệm thuộc ${R^*}$ là ${x_{ \pm n}} =  \pm n\pi ,\,\,\,n \in {N^*}$

Mở rộng (1):

$\frac{{\sin x}}{x} = \prod\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {1 - \frac{x}{{n\pi }}} \right)} \left( {1 + \frac{x}{{n\pi }}} \right) = \prod\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{n^2}{\pi ^2}}}} \right)\,\,\,\,(3)} $

Hệ số của ${x^2}$ ở vế phải của (3) là

$ - \frac{1}{{{\pi ^2}}} - \frac{1}{{{2^2}{\pi ^2}}} - ... - \frac{1}{{{n^2}{\pi ^2}}} - ... =  - \frac{1}{{{\pi ^2}}}\gamma (2)\,\,\,\,\,(4)$

Từ (2), hệ số  của ${x^2}$ trong khai triển của $\frac{{\sin x}}{x}$ là $ - \frac{1}{{3!}} =  - \frac{1}{6}$

Từ đó và từ (4) ta được:

$\gamma (2) = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} + ... = \sum {\frac{1}{{{n^2}}}}  = \frac{{{\pi ^2}}}{6}$.