India RMO 2012

Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc(a+b+c)=3$. Chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8$

India RMO 2012

Lời giải
Ta có $(ab+bc+ac)^2 \ge 3abc(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ac\ge 3$
$$(a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)\ge \frac{8.9}{9}=8$$
Do $a+b+c\ge \sqrt{3(ba+bc+ac)}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho $a,b$ là hai số thực dương thỏa mãn $a+b=1$. Chứng minh $a^ab^b+a^bb^a\le 1$

India RMO 2012

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy rộng ta có $$a^ab^b+a^bb^a \le a^2+b^2+2ab=(a+b)^2 =1$$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$