Processing math: 100%

Thứ Tư, 28 tháng 11, 2012

Tìm tất cả các số hữu tỷ p,q,r thỏa mãn: p\cos{\frac{\pi}{7}}+q\cos{\frac{2\pi}{7}}+r\cos{\frac{3\pi}{7}}=1

Tìm tất cả các số hữu tỷ p,q,r thỏa mãn: p\cos{\frac{\pi}{7}}+q\cos{\frac{2\pi}{7}}+r\cos{\frac{3\pi}{7}}=1
Nhận thấy \frac{\pi}{7};\frac{2\pi}{7};\frac{3\pi}{7} là nghiệm của phương tình
\cos 3\alpha-4\cos x=0 \Leftrightarrow 8\cos^3\alpha-4\cos^2\alpha=4\cos \alpha+1=0
Đặt x=\cos \alpha thì \frac{\pi}{7};\frac{2\pi}{7};\frac{3\pi}{7} là 3 nghiệm của phương trình 8x^3-4x^2-4x+1=0
Do \sin \frac{4\pi}{7}=\cos \frac{3\pi}{7} nên \cos \frac{\pi}{7} cũng là nghiệm của phương trình 8x^3-4x^2-4x+1=0 đó \cos \frac{\pi}{7} là số vô tỷ.
Ta dễ dàng chứng minh không tồn tại đa thức bậc \le 2 nhận \cos \frac{\pi}{7} làm nghiệm
Từ đề bài suy ra (2r+2q)\cos^2\frac{\pi}{7}+(p-r)\cos \frac{\pi}{7}-\frac{r}{2}-q-1=0
\left\{ \begin{array}{l} 2r + 2q = 0\\ p - r = 0\\ \frac{r}{2} + q + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow p = r = 2;q =  - 2

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025