Tìm tất cả các số hữu tỷ $p,q,r$ thỏa mãn: $p\cos{\frac{\pi}{7}}+q\cos{\frac{2\pi}{7}}+r\cos{\frac{3\pi}{7}}=1$

Tìm tất cả các số hữu tỷ $p,q,r$ thỏa mãn: $p\cos{\frac{\pi}{7}}+q\cos{\frac{2\pi}{7}}+r\cos{\frac{3\pi}{7}}=1$
Nhận thấy $\frac{\pi}{7};\frac{2\pi}{7};\frac{3\pi}{7}$ là nghiệm của phương tình
$\cos 3\alpha-4\cos x=0 \Leftrightarrow 8\cos^3\alpha-4\cos^2\alpha=4\cos \alpha+1=0$
Đặt $x=\cos \alpha$ thì $\frac{\pi}{7};\frac{2\pi}{7};\frac{3\pi}{7}$ là 3 nghiệm của phương trình $8x^3-4x^2-4x+1=0$
Do $\sin \frac{4\pi}{7}=\cos \frac{3\pi}{7}$ nên $\cos \frac{\pi}{7}$ cũng là nghiệm của phương trình $8x^3-4x^2-4x+1=0$ đó $\cos \frac{\pi}{7}$ là số vô tỷ.
Ta dễ dàng chứng minh không tồn tại đa thức bậc $\le 2$ nhận $\cos \frac{\pi}{7}$ làm nghiệm
Từ đề bài suy ra $(2r+2q)\cos^2\frac{\pi}{7}+(p-r)\cos \frac{\pi}{7}-\frac{r}{2}-q-1=0$
\[\left\{ \begin{array}{l}
2r + 2q = 0\\
p - r = 0\\
\frac{r}{2} + q + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow p = r = 2;q =  - 2\]