Cho dãy \{x_{n} \} xác định bởi:\left\{\begin{matrix} x_1=\sqrt{a_1}
& \\ x_{n}=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+...+\sqrt{a_{n}}}};\forall
a_{i}>0(i=\overline{1;n}) & \end{matrix}\right.
Chứng minh rằng dãy số \{x_{n} \} có giới hạn hữu hạn nếu \lim_{n \to \infty}\frac{\ln{(\ln{a_{n}})}}{n}<\ln{2}.
Lời giải
Bổ đề: Cho số thực a>0 và dãy (z_n) thỏa z_1=\sqrt{a};z_{n+1}=\sqrt{z_n+a}. Khi đó
z_n < \frac{{1 + \sqrt {4a + 1} }}{2} \quad \forall n
==============================
Quay lại bài toán. Dễ thấy a_n>1.
\begin{array}{rcl} \ln 2 > \frac{{\ln \left( {\ln a_n } \right)}}{n} = \ln \left( {\sqrt[n]{{\ln a_n }}} \right) \\ \Rightarrow 2 > \sqrt[n]{{\ln a_n }} \Rightarrow 2^n > \ln a_n \Rightarrow e^{2^n } > a_n \quad \forall n\\ \end{array}
Đặt b_n=\dfrac{a_n}{e^{2^n}} < 1 \Rightarrow a_n=b_ne^{2^n}. Suy ra
\begin{array}{rcl} x_n &=& \sqrt {a_1 + \sqrt {a_2 + ... + \sqrt {a_n } } } \\ &=&
\sqrt {b_1 e^{2^1 } + \sqrt {b_2 e^{2^2 } + ... + \sqrt {b_{n - 1}
e^{2^{n - 1} } + \sqrt {b_n e^{2^n } } } } } \\ &=& \sqrt
{b_1 e^{2^1 } + \sqrt {b_2 e^{2^2 } + ... + \sqrt {b_{n - 1} e^{2^{n -
1} } + e^{2^{n - 1} } \sqrt {b_n } } } } \\ &=& \sqrt {b_1 e^{2^1 } + \sqrt {b_2 e^{2^2 } + ... + e^{2^{n - 2} } \sqrt {b_{n - 1} + \sqrt {b_n } } } } \\ &=& ... \\ &=& e\sqrt {b_1 + \sqrt {b_2 + ... + \sqrt {b_n } } } \\ &<&
e\sqrt {1 + \sqrt {1 + ... + \sqrt 1 } } < e.\frac{{1 + \sqrt {4.1 +
1} }}{2} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}e \\ \end{array}
(x_n) tăng và bị chặn trên nên hội tụ.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét