Chứng minh rằng dãy số $\{x_{n} \}$ có giới hạn hữu hạn nếu $\lim_{n \to \infty}\frac{\ln{(\ln{a_{n}})}}{n}<\ln{2}$.

Cho dãy $\{x_{n} \}$ xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} x_1=\sqrt{a_1} & \\ x_{n}=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+...+\sqrt{a_{n}}}};\forall a_{i}>0(i=\overline{1;n}) & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng dãy số $\{x_{n} \}$ có giới hạn hữu hạn nếu $\lim_{n \to \infty}\frac{\ln{(\ln{a_{n}})}}{n}<\ln{2}$.
 Lời giải
Bổ đề: Cho số thực $a>0$ và dãy $(z_n)$ thỏa $z_1=\sqrt{a};z_{n+1}=\sqrt{z_n+a}$. Khi đó
\[
z_n  < \frac{{1 + \sqrt {4a + 1} }}{2} \quad \forall n
\]
==============================
Quay lại bài toán. Dễ thấy $a_n>1$.
\[
\begin{array}{rcl}
\ln 2 > \frac{{\ln \left( {\ln a_n } \right)}}{n} = \ln \left( {\sqrt[n]{{\ln a_n }}} \right) \\
  \Rightarrow 2 > \sqrt[n]{{\ln a_n }} \Rightarrow 2^n  > \ln a_n  \Rightarrow e^{2^n }  > a_n  \quad \forall n\\
\end{array}
\]
Đặt $b_n=\dfrac{a_n}{e^{2^n}} < 1 \Rightarrow a_n=b_ne^{2^n}$. Suy ra
\[
\begin{array}{rcl}
x_n  &=& \sqrt {a_1  + \sqrt {a_2  + ... + \sqrt {a_n } } }  \\
  &=& \sqrt {b_1 e^{2^1 }  + \sqrt {b_2 e^{2^2 }  + ... + \sqrt {b_{n - 1} e^{2^{n - 1} }  + \sqrt {b_n e^{2^n } } } } }  \\
  &=& \sqrt {b_1 e^{2^1 }  + \sqrt {b_2 e^{2^2 }  + ... + \sqrt {b_{n - 1} e^{2^{n - 1} }  + e^{2^{n - 1} } \sqrt {b_n } } } }  \\
  &=& \sqrt {b_1 e^{2^1 }  + \sqrt {b_2 e^{2^2 }  + ... + e^{2^{n - 2} } \sqrt {b_{n - 1}  + \sqrt {b_n } } } }  \\
  &=& ... \\
  &=& e\sqrt {b_1  + \sqrt {b_2  + ... + \sqrt {b_n } } }  \\
  &<& e\sqrt {1 + \sqrt {1 + ... + \sqrt 1 } }  < e.\frac{{1 + \sqrt {4.1 + 1} }}{2} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}e \\
\end{array}
\]
$(x_n)$ tăng và bị chặn trên nên hội tụ.