Cho n \ge 2 và đa thức P(x) xác định
bởi:P(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}.Chứng minh rằng phương trình
P(x)=0 không có nghiệm hữu tỷ.
Lời giải:
Nếu \alpha \in \mathbb{Q} là nghiệm của P(x) thì \alpha cũng là nghiệm của phương trình:
\begin{array}{l} x^n + nx^{n - 1} + ... + \frac{{n!}}{{k!}}x^k + ... + n! = 0 \\ \Rightarrow \alpha ^n + n\alpha ^{n - 1} + ... + \frac{{n!}}{{k!}}\alpha ^k + ... + n! = 0 \quad \left( 1 \right) \\ \end{array}
Vì P(x) là đa thức hệ số nguyên có hệ số bậc cao nhất là 1 và có nghiệm \alpha \in \mathbb{Q} thì \alpha là số nguyên.
Gọi p là 1 ước nguyên tố bất kì của n. Với k=\overline{1,n}, đặt r_k =
v_p (k!) \Rightarrow r_k = \left\lfloor {\frac{k}{p}} \right\rfloor +
\left\lfloor {\frac{k}{{p^2 }}} \right\rfloor + ... + \left\lfloor
{\frac{k}{{p^s }}} \right\rfloor
Trong đó, s là số tự nhiên thỏa p^s \le k <p^{s+1}.
\begin{array}{l} \Rightarrow r_k \le \frac{k}{p} + \frac{k}{{p^2 }} + ... + \frac{k}{{p^s }} = k.\frac{{1 - p}}{{1 - p^s }} < k \\ \Rightarrow r_n - r_k > r_n - k \\ \Rightarrow r_n - r_k \ge r_n - k + 1 \\ \Rightarrow \frac{{n!}}{{k!}} \vdots p^{r_n - k + 1} \\ \end{array}
Lại
có, do p|n nên từ (1) \Rightarrow p|\alpha \Rightarrow \alpha^k
\vdots p^k \Rightarrow \frac{{n!}}{{k!}}\alpha ^k \vdots p^{r_n + 1}
\,\, \forall k=\overline{1,n}.
Do (1) nên n! \vdots p^{r_n+1}: mâu thuẫn do r_n=v_p(n!) nên n! \not \vdots p^{r_n+1}.
Vậy điều giả sử là sai hay P(x) vô nghiệm hữu tỷ.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét