Processing math: 5%

Thứ Tư, 28 tháng 11, 2012

Chứng minh \sqrt{1+a} + \sqrt{1+c} + \sqrt{ 1 + ac - bd} \ge \sqrt{2}

Chứng minh rằng nếu 4 số thực a ; b ; c ; d thoả mãn : a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1 ; thì ta luôn có \sqrt{1+a} + \sqrt{1+c} + \sqrt{ 1 + ac - bd} \ge \sqrt{2}
Lời giải:

Lời giải : Ta xét các số phức sau : w= a + ib \ ; \ z = c+ id

Rõ ràng ; từ giả thiết bài toán ; ta có : |w| = | z| = 1

Ngoài ra : | 1 + w| = \sqrt{ (1+a)^2 + b^2} = \sqrt{ 1 + (a^2 + b^2) + 2a} = \sqrt{2 (1+a)}

Chứng minh tương tự : | 1 + z| = \sqrt{2 (1+c)}.

Còn | 1 + zw | = \sqrt{ (1+ac-bd)^2 + (ad+cb)^2} = \sqrt{ 1 + 2(ac-bd) + (a^2+b^2)(c^2+d^2)} = \sqrt{2 (1+ac-bd)}.

Nên dễ thấy là bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

2 \le | 1 + w|+ | 1 + z|+ | 1 + zw | \ \ (*)

Để chứng minh (*) ; ta chỉ cần vận dụng đến các đẳng thức-bất đẳng thức cơ bản nhất liên quan đến module số phức, thật vậy:

2 = | 1+z - z(1+w) + 1+ zw| \le |1+z| + | z(1+w)| + |1+zw|= |1+z| + | z| \cdot |1+w| + |1+zw| = | 1 + w|+ | 1 + z|+ | 1 + zw |
Do |z| =1

(*) đúng ; và bất đẳng thức ban đầu cũng được chứng minh hoàn toàn.

Ta thấy là có xảy ra trường hợp đẳng thức ; chẳng hạn khi a=c=-1 ; b=d=0

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025