Chứng minh $\sqrt{1+a} + \sqrt{1+c} + \sqrt{ 1 + ac - bd} \ge \sqrt{2}$

Chứng minh rằng nếu $4$ số thực $ a ; b ; c ; d $ thoả mãn : $ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1$ ; thì ta luôn có $$ \sqrt{1+a} + \sqrt{1+c} + \sqrt{ 1 + ac - bd} \ge \sqrt{2}$$
Lời giải:

Lời giải : Ta xét các số phức sau : $ w= a + ib \ ; \ z = c+ id$

Rõ ràng ; từ giả thiết bài toán ; ta có : $ |w| = | z| = 1$

Ngoài ra : $ | 1 + w| = \sqrt{ (1+a)^2 + b^2} = \sqrt{ 1 + (a^2 + b^2) + 2a} = \sqrt{2 (1+a)}$

Chứng minh tương tự : $ | 1 + z| = \sqrt{2 (1+c)}$.

Còn $ | 1 + zw | = \sqrt{ (1+ac-bd)^2 + (ad+cb)^2} = \sqrt{ 1 + 2(ac-bd) + (a^2+b^2)(c^2+d^2)} = \sqrt{2 (1+ac-bd)}$.

Nên dễ thấy là bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$ 2 \le | 1 + w|+ | 1 + z|+ | 1 + zw | \ \ (*)$

Để chứng minh $(*)$ ; ta chỉ cần vận dụng đến các đẳng thức-bất đẳng thức cơ bản nhất liên quan đến module số phức, thật vậy:

$ 2 = | 1+z - z(1+w) + 1+ zw| \le |1+z| + | z(1+w)| + |1+zw|= |1+z| + | z| \cdot |1+w| + |1+zw| = | 1 + w|+ | 1 + z|+ | 1 + zw | $
Do $|z| =1$

$ (*)$ đúng ; và bất đẳng thức ban đầu cũng được chứng minh hoàn toàn.

Ta thấy là có xảy ra trường hợp đẳng thức ; chẳng hạn khi $ a=c=-1 ; b=d=0$