Cho dãy $(a_{n}): a_{n}=\frac{1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}}{n^{2013}}$. Tính $\lim a_{n} khi n\rightarrow +\infty$.

Cho dãy $(a_{n}): a_{n}=\frac{1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}}{n^{2013}}$. Tính $\lim a_{n}  khi  n\rightarrow +\infty$.

Đề thi chọn HSG quốc gia tỉnh Dak Lak 2012-2013

Cách 1:

 Biến đổi $$a_n=\frac{1}{n}[(\frac{1}{n})^{2012}+(\frac{2}{n})^{2012}+...+(\frac{n}{n})^{2012}]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\frac{i}{n})^{2012}$$
Xét hàm số $f(x)=x^{2012}$ liên tục trên $[0;1]$ khả tích trên $[0;1]$.
Chia đoạn [0;1] bởi các điểm chia $x_i=\frac{i}{n};i=\overline{0;n}$ và chọn $\xi _i=\frac{1}{i}\in [x_{i-1};x_i];i=\overline{1;n}$
Ta có: \[{a_n} = \frac{1}{n}{\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{k}{n}} \right)} ^{2012}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \int\limits_0^1 {{x^{2012}}} dx = \left. {\frac{1}{{2013}}{x^{2013}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{2013}}\]

Cách 2:
Đặt $y_n=n^{2013} ;x_n =1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}$. Ta có
$$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{(1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012})-(1^{2012}+2^{2012}+...+(n-1)^{2012})}{n^{2013}-(n-1)^{2013}}$$
$$=\frac{n^{2012}}{2013n^{2012}-\frac{2012.2013}{2}n^{2011}+...}\to \frac{1}{2013}$$
Theo định lý Stolz $a_n \to \frac{1}{2013}$ 

Cách 3:

Xét hàm số:
$$f(x) = e^x+e^{2x}+...+e^{nx}$$

Đạo hàm cấp $k$ của $f(x)$ là:
$$f^{(k)}(x)=e^x+2^ke^{2x}+...+n^ke^{nx}$$
Dễ thấy:
$$f^{(2012)}(0)=1+2^{2012}+...+n^{2012}$$
Ta cũng có thể viết:
$$f(x)=\frac{e^{(n+1)x}-e^x}{e^x-1}$$
Từ đó suy ra:
$$e^{(n+1)x}-e^x=(e^x-1)f(x)$$
Đạo hàm 2013 lần hai vế, ta có:
$$(n+1)^{2013}e^{(n+1)x}-e^x=\sum_{k=0}^{2013}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}$$
Từ đó, ta có:
$(n+1)^{2013}e^{(n+1)x}-e^x=$
$=\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}+C^{2012}_{2013}f^{(2012)}(x)e^x+C^{2013}_{2013}f^{(2013)}(x)(e^x-1)$
Suy ra:
$C^{2012}_{2013}f^{(2012)}(x)e^x=$
$$=(n+1)^{2013}e^{(n+1)x}-e^x-\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}-C^{2013}_{2013}f^{(2013)}(x)(e^x-1)$$
Cho $x=0$, ta có:
$$C^{2012}_{2013}f^{(2012)}(0)=(n+1)^{2013}-1-\left (\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}  \right )_{x=0}$$
Dễ thấy, bậc cao nhất của $n$ ở $\left (\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}  \right )_{x=0}$ là $2011$. Do đó, $f^{(2012)}(0)$ là một đa thức bậc $2013$ và có hệ số cao nhất là $\frac{1}{2013}$.
Đặt:
$$f^{(2012)}(0)=\frac{1}{2013}.n^{2013}+b_{2012}n^{2012}+...+b_0$$, ta có:
$$lima_{n}=lim \frac{\frac{1}{2013}.n^{2013}+b_{2012}n^{2012}+...+b_0}{n^{2013}} = \frac{1}{2013}$$