Đề thi chọn HSG quốc gia tỉnh Dak Lak 2012-2013
Cách 1:
Biến đổi
a_n=\frac{1}{n}[(\frac{1}{n})^{2012}+(\frac{2}{n})^{2012}+...+(\frac{n}{n})^{2012}]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\frac{i}{n})^{2012}
Xét hàm số f(x)=x^{2012} liên tục trên [0;1] khả tích trên [0;1].
Chia đoạn [0;1] bởi các điểm chia x_i=\frac{i}{n};i=\overline{0;n} và chọn \xi _i=\frac{1}{i}\in [x_{i-1};x_i];i=\overline{1;n}
Ta có: {a_n} = \frac{1}{n}{\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{k}{n}} \right)} ^{2012}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \int\limits_0^1 {{x^{2012}}} dx = \left. {\frac{1}{{2013}}{x^{2013}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{2013}}
Xét hàm số f(x)=x^{2012} liên tục trên [0;1] khả tích trên [0;1].
Chia đoạn [0;1] bởi các điểm chia x_i=\frac{i}{n};i=\overline{0;n} và chọn \xi _i=\frac{1}{i}\in [x_{i-1};x_i];i=\overline{1;n}
Ta có: {a_n} = \frac{1}{n}{\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{k}{n}} \right)} ^{2012}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \int\limits_0^1 {{x^{2012}}} dx = \left. {\frac{1}{{2013}}{x^{2013}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{2013}}
Cách 2:
Đặt y_n=n^{2013} ;x_n =1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}. Ta có
\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{(1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012})-(1^{2012}+2^{2012}+...+(n-1)^{2012})}{n^{2013}-(n-1)^{2013}}
=\frac{n^{2012}}{2013n^{2012}-\frac{2012.2013}{2}n^{2011}+...}\to \frac{1}{2013}
Theo định lý Stolz a_n \to \frac{1}{2013}
Đặt y_n=n^{2013} ;x_n =1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}. Ta có
\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{(1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012})-(1^{2012}+2^{2012}+...+(n-1)^{2012})}{n^{2013}-(n-1)^{2013}}
=\frac{n^{2012}}{2013n^{2012}-\frac{2012.2013}{2}n^{2011}+...}\to \frac{1}{2013}
Theo định lý Stolz a_n \to \frac{1}{2013}
Cách 3:
Xét hàm số:
f(x) = e^x+e^{2x}+...+e^{nx}
Đạo hàm cấp k của f(x) là:
f^{(k)}(x)=e^x+2^ke^{2x}+...+n^ke^{nx}
Dễ thấy:
f^{(2012)}(0)=1+2^{2012}+...+n^{2012}
Ta cũng có thể viết:
f(x)=\frac{e^{(n+1)x}-e^x}{e^x-1}
Từ đó suy ra:
e^{(n+1)x}-e^x=(e^x-1)f(x)
Đạo hàm 2013 lần hai vế, ta có:
(n+1)^{2013}e^{(n+1)x}-e^x=\sum_{k=0}^{2013}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}
Từ đó, ta có:
(n+1)^{2013}e^{(n+1)x}-e^x=
=\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}+C^{2012}_{2013}f^{(2012)}(x)e^x+C^{2013}_{2013}f^{(2013)}(x)(e^x-1)
Suy ra:
C^{2012}_{2013}f^{(2012)}(x)e^x=
=(n+1)^{2013}e^{(n+1)x}-e^x-\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}-C^{2013}_{2013}f^{(2013)}(x)(e^x-1)
Cho x=0, ta có:
C^{2012}_{2013}f^{(2012)}(0)=(n+1)^{2013}-1-\left (\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)} \right )_{x=0}
Dễ thấy, bậc cao nhất của n ở \left (\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)} \right )_{x=0} là 2011. Do đó, f^{(2012)}(0) là một đa thức bậc 2013 và có hệ số cao nhất là \frac{1}{2013}.
Đặt:
f^{(2012)}(0)=\frac{1}{2013}.n^{2013}+b_{2012}n^{2012}+...+b_0, ta có:
lima_{n}=lim \frac{\frac{1}{2013}.n^{2013}+b_{2012}n^{2012}+...+b_0}{n^{2013}} = \frac{1}{2013}
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét