Cho x,y,z >0 thỏa mãn ; xyz=1. Chứng minh rằng :
\frac{x^2+1}{x^4+4x^2+1} +\frac{y^2+1}{y^4+4y^2+1}+\frac{z^2+1}{z^4+4z^2+1} \ge 1
Ta có \frac{x^2+1}{x^4+4x^2+1} \ge \frac{1}{x^2+x+1}
Khải triển ra ta có
x^3+x \geq 2x^2
Điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM. Thiết lập các biểu thức tương tự. Ta quy về chứng minh \frac{1}{x^4+x^2+1}+\frac{1}{y^4+y^2+1}+\dfrac{1}{z^4+z^2+1} \ge 1
Thay (x^4;y^4;z^4) bởi (x^2;y^2;z^2) ta quy về chứng minh
\dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{y^2+y+1}+\dfrac{1}{z^2+z+1} \ge 1
Tồn tại các số dương a,b,c sao cho x=\frac{bc}{a^2};\frac{ac}{b^2};z=\frac{ab}{c^2} bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \frac{a^4}{a^4+a^2bc+b^2c^2}+\frac{b^4}{b^4+b^2ac+a^2c^2}+\frac{c^4}{c^4+c^2ab+a^2b^2}\ge 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: VT\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^4+b^4+c^4)+abc(a+b+c)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}
\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}=1
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1\,\, \blacksquare
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét