Chứng minh rằng với mọi số a,b,c thực ta có: $[1+(b-c)^2][1+(c-a)^2][1+(a-b)^2]\ge (1+a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)^2$

Chứng minh rằng với mọi số a,b,c thực ta có:
$$[1+(b-c)^2][1+(c-a)^2][1+(a-b)^2]\ge (1+a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)^2$$
Lời giải
Sử dụng hằng đẳng thức Lagrange ta có
$[1+(b-c)^2][(c-a)^2+1]=(c-a+b-c)^2+[1-(b-c(c-a))]^2$
$=(b-a)^2+(1-bc+ab+c^2-ac)^2$
Do đó ta sẽ chứng minh
$[(b-a)^2+(1-bc+ab+c^2-ac)^2][1+(a-b)^2]\geq VP$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
$VT\ge [(b-a)^2+(1-bc+ab+c^2-ac)^2][(a+b)^2+1]\geq VP$
Vậy ta có điều cần chứng minh. $\blacksquare$