Tính tổng : $A \ = \ \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \dfrac{ C_{4n}^{2k}}{ C_{2n}^{k} }$

 Tính tổng : $A \ = \ \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \dfrac{ C_{4n}^{2k}}{ C_{2n}^{k} }$
Bổ đề : với $m ; n \in N$ thì : $T = \int_{0}^{1} t^m (1-t)^n dt \ =  \frac{m! n!}{(m+n+1)!} = \dfrac{1}{(m+n+1) C_{m+n}^{m}}$
  Chứng minh : tư tưởng dựa vào phương pháp tích phân từng phần .
  Đặt $u = (1-t)^n  \Rightarrow u' = -n(1-t)^{n-1}$ ; $v' = t^m  \Rightarrow$ chọn $v \ = \ \dfrac{t^{m+1}}{m+1}$
     Theo công thức tính tích phân từng phần :
$T \ = \ \dfrac{ (1-t)^n t^{m+1} }{m+1} \quad\bigg|_{0}^{1}  +  \int_{0}^{1} \dfrac{n(1-t)^{n-1} t^{m+1}}{m+1}dt$   $= \dfrac{n}{m+1} \int_{0}^{1} (1-t)^{n-1} t^{m+1}dt = ...= \dfrac{m! n!}{(m+n)!} \int_{0}^{1} t^{m+n} dt  =   \dfrac{m! n! }{(m+n+1)!}$

Bổ đề được chứng minh .
Vào bài : Theo bổ đề thì ta có thể viết lại tổng $A$ dưới dạng :
$A \ = \ \sum_{k=0}^{2n} (2n+1) C_{4n}^{2k} (-1)^{k} \int_{0}^{1} t^k (1-t)^{2n-k} dt = (2n+1) \int_{0}^{1} \left( \sum_{k=0}^{2n}  C_{4n}^{2k} (-t)^k (1-t ) ^{2n-k} \right) dt$

  Đặt $t = x^2  \Rightarrow dt = 2xdx$ Khi đó :

$A = 2(2n+1) \int_{0}^{1} \left( \sum_{k=0}^{2n}  C_{4n}^{2k} (-x^2)^k (1-x^2 ) ^{2n-k}  \right)x dx = 2(2n+1) \int_{0}^{1} F_{4n} (x) x dx$ với $F_{4n} (x) \ = \ \sum_{k=0}^{2n}  C_{4n}^{2k} (-x^2)^k (1-x^2 ) ^{2n-k}$


Với $x \ \in \ [0 ; 1]$ thì cần tinh ý để thấy được là : $F_{4n} (x) \ = \ \dfrac{ \left(\sqrt{1-x^2} + ix \right)^{4n} + \left(\sqrt{1-x^2} - ix \right)^{4n}}{2}$
Đặt $x = sin \varphi  \Rightarrow  dx = cos\varphi d\varphi$  . Do $x: 0 \to \ 1  \Rightarrow \varphi : 0  \to  \dfrac{\pi}{2}$

Theo công thức $De- Moivre$ : $\left( cos\varphi + isin \varphi \right)^{n} = cosn \varphi + isinn \varphi$
$\sqrt{1-x^2} + ix =  \sqrt{1 - sin^2 \varphi } + isin \varphi = cos\varphi + isin \varphi$
$\sqrt{1-x^2} - ix =  \sqrt{1 - sin^2 \varphi } + isin(- \varphi )= cos(-\varphi) + isin(- \varphi )$
$\Rightarrow \left(\sqrt{1-x^2} + ix \right)^{4n} + \left(\sqrt{1-x^2} - ix \right)^{4n}$
$= cos4n \varphi + isin4n \varphi + cos(-4n \varphi) + isin(-4n \varphi ) = 2cos4n \varphi$
$A = 2(2n+1) \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} cos4n \varphi cos\varphi sin \varphi d\varphi = A = (2n+1) \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} cos4n \varphi sin 2 \varphi d\varphi$
Ta chỉ cần tính tích phân $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} cos4n \varphi sin 2 \varphi d\varphi$
  $= \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \left( sin (4n+2) \varphi - sin (4n-2) \varphi \right)d\varphi$

  $=  \left( \dfrac{cos (4n-2) \varphi }{4n-2} \ -  \dfrac{cos (4n+2) \varphi }{4n+2} \right) \quad\bigg|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \ = \ \dfrac{-1}{(2n+1)(2n-1)}$

   Vậy : $A \ = \ \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \dfrac{ C_{4n}^{2k}}{C_{2n}^{k}} \ = \ \dfrac{-1}{2n-1}$