Không gian Metric và Topo đại cương.

Một số kiến thức mở đầu về Không gian Metric.(part 1)



1. Định nghĩa Metric và không gian Metric.

Cho $X\neq \varnothing $, d là ánh xạ từ:  $X^{2}\rightarrow R$
                                         $ \left ( x,y \right )\in X^{2}\rightarrow d\left ( x,y \right )\in R$
thỏa mãn 3 tiên đề sau :
   1/ $d\left ( x,y \right )\geq 0$ với mọi $x,y\in X$
        $d\left ( x,y \right )=0\Leftrightarrow x=y$
   2/ $d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right )$ với mọi $x,y\in X$
   3/  $d\left ( x,y \right )\leq d\left ( x,z \right )+d\left (z,y  \right )$ với mọi  $x,y,z\in X$
 ánh xạ d được gọi là Metric trên X.
Một tập X được trang bị một Metric thì gọi là Không gian Metric $M=\left ( X,d \right )$, với $d\left ( x,y \right )$ được gọi là khoảng cách từ điểm x đến điểm y. Phần tử trong không gian Metric gọi là các điểm.
2. Một số tính chất đơn giản.
  Tính chất 1: Giả sử $\left ( X,d \right )$ là không gian Metric, $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in X$ khi đó :
    $d\left ( x_{1},x_{n} \right )\leq d\left ( x_{1} ,x_{2}\right )+d\left ( x_{2},x_{3} \right )+...+d\left ( x_{n-1},x_{n} \right )$
  Tính chất 2: Với bốn điểm $x,y,u,v\in X$ khi đó :
        $ \left | d\left ( \left ( x,y \right ) \right ) -d\left ( u,v \right )\right |\leq d\left ( x,u \right )+d\left ( y,v \right )$
  Tính chất 3: Giả sử $x,y,u\in X$ khi đó:
       $ \left | d\left ( x,u \right )-d\left ( y,u \right ) \right |\leq d\left ( x,y \right )$
3. Một số ví dụ chứng minh Không gian Metric.
 Ví dụ 1: Cho $X=R$, với mọi $x,y\in R, d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |$. Kiểm tra xem $\left( X,d \right)$ là một không gian Metric.
 Bài giải :
 Ta đi kiểm tra 3 tiên đề
  1, Ta có $d\left ( x,y \right )= \left |x-y  \right |\geq 0$
       Giả sử $d\left ( x,y \right )=0 \Leftrightarrow \left |x-y  \right |= 0\Leftrightarrow x=y$
                      $ \Rightarrow d\left ( x,y \right )\Leftrightarrow x=y$
  2, Với mọi $x,y\in R, d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |=\left | \left ( -1 \right )\left ( y-x \right ) \right |=\left | \left ( -1 \right ) \right |\left | y-x \right |=d\left ( y,x \right )$
                       $\Rightarrow  d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right )$
  3, Với mọi  $x,y,z\in R$ , ta có :
       $d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |=\left | x-z+z-y \right |\leq \left | x-z \right |+\left | z-y \right |=d\left ( x,z \right )+d\left ( z,y \right )$
                       $\Rightarrow d\left ( x,y \right )\leq d\left (x,z\right )+d\left ( z,y \right )$
 Vậy $\left ( R,d \right )$ là một không gian Metric.
Một số ví dụ tương tự ví dụ 1 
 Ví dụ 2: Cho $X=R^{n}$, với mọi  $x\in X, x=\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )$
                                                            $y\in Y, y= \left ( y_{1},y_{2},...,y_{n} \right )$
               Đặt $d\left ( x,y \right )=\left ( \sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-y_{j} \right )^{2} \right )^{\frac{1}{2}}$
          Chứng minh rằng: $\left ( X,d \right )$ là một không gian Metric.
Ví dụ 3: Cho $X\neq \varnothing $, ta định nghĩa: $d\left ( x,y \right )=\left\{\begin{matrix}
 1, x\neq y& \\0,x=y&
\end{matrix}\right.$
              Chứng minh rằng: $\left ( X,d \right )$ là một không gian Metric