Một số kiến thức mở đầu về Không gian Metric.(part 1)
1. Định nghĩa Metric và không gian Metric.
Cho X\neq \varnothing , d là ánh xạ từ: X^{2}\rightarrow R
\left ( x,y \right )\in X^{2}\rightarrow d\left ( x,y \right )\in R
thỏa mãn 3 tiên đề sau :
1/ d\left ( x,y \right )\geq 0 với mọi x,y\in X
d\left ( x,y \right )=0\Leftrightarrow x=y
2/ d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right ) với mọi x,y\in X
3/ d\left ( x,y \right )\leq d\left ( x,z \right )+d\left (z,y \right ) với mọi x,y,z\in X
ánh xạ d được gọi là Metric trên X.
Một tập X được trang bị một Metric thì gọi là Không gian Metric M=\left ( X,d \right ), với d\left ( x,y \right ) được gọi là khoảng cách từ điểm x đến điểm y. Phần tử trong không gian Metric gọi là các điểm.
2. Một số tính chất đơn giản.
Tính chất 1: Giả sử \left ( X,d \right ) là không gian Metric, x_{1},x_{2},...,x_{n}\in X khi đó :
d\left ( x_{1},x_{n} \right )\leq d\left ( x_{1} ,x_{2}\right )+d\left ( x_{2},x_{3} \right )+...+d\left ( x_{n-1},x_{n} \right )
Tính chất 2: Với bốn điểm x,y,u,v\in X khi đó :
\left | d\left ( \left ( x,y \right ) \right ) -d\left ( u,v \right )\right |\leq d\left ( x,u \right )+d\left ( y,v \right )
Tính chất 3: Giả sử x,y,u\in X khi đó:
\left | d\left ( x,u \right )-d\left ( y,u \right ) \right |\leq d\left ( x,y \right )
3. Một số ví dụ chứng minh Không gian Metric.
Ví dụ 1: Cho X=R, với mọi x,y\in R, d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |. Kiểm tra xem \left( X,d \right) là một không gian Metric.
Bài giải :
Ta đi kiểm tra 3 tiên đề
1, Ta có d\left ( x,y \right )= \left |x-y \right |\geq 0
Giả sử d\left ( x,y \right )=0 \Leftrightarrow \left |x-y \right |= 0\Leftrightarrow x=y
\Rightarrow d\left ( x,y \right )\Leftrightarrow x=y
2, Với mọi x,y\in R, d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |=\left | \left ( -1 \right )\left ( y-x \right ) \right |=\left | \left ( -1 \right ) \right |\left | y-x \right |=d\left ( y,x \right )
\Rightarrow d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right )
3, Với mọi x,y,z\in R , ta có :
d\left ( x,y \right )=\left | x-y \right |=\left | x-z+z-y \right |\leq \left | x-z \right |+\left | z-y \right |=d\left ( x,z \right )+d\left ( z,y \right )
\Rightarrow d\left ( x,y \right )\leq d\left (x,z\right )+d\left ( z,y \right )
Vậy \left ( R,d \right ) là một không gian Metric.
Một số ví dụ tương tự ví dụ 1
Ví dụ 2: Cho X=R^{n}, với mọi x\in X, x=\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )
y\in Y, y= \left ( y_{1},y_{2},...,y_{n} \right )
Đặt d\left ( x,y \right )=\left ( \sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-y_{j} \right )^{2} \right )^{\frac{1}{2}}
Chứng minh rằng: \left ( X,d \right ) là một không gian Metric.
Ví dụ 3: Cho X\neq \varnothing , ta định nghĩa: d\left ( x,y \right )=\left\{\begin{matrix}
1, x\neq y& \\0,x=y&
\end{matrix}\right.
Chứng minh rằng: \left ( X,d \right ) là một không gian Metric
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét