Processing math: 0%

Thứ Hai, 23 tháng 11, 2015

ỨNG DỤNG SỐ MŨ LỚN NHẤT CỦA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC

ỨNG DỤNG SỐ MŨ LỚN NHẤT CỦA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC

Lê Trần Nhạc Long - THPT Chuyên Lê Quý Đôn- Đà Nẵng
----------------------------------------

17/1/2012 Tặng diễn đàn VMF nhân dịp sinh nhật 8 năm của diễn đàn


Cho p là một số nguyên tố lẻ ,số tự nhiên n và hai số nguyên dương phân biệt ab . Gọi \alpha\beta lần lượt là số mũ lớn nhất của p trong a-bn. Thì số mũ lớn nhất của p trong a^n-b^np^{\alpha+\beta}

Kí hiệu số mũ lớn nhất của p trong mv_{p}(m) hoặc p^{\alpha}||m (với \alpha là số mũ lớn nhất của p trong m)
(Trong bài viết này ta sẽ sử dụng kí hiệu p^{\alpha}||m)

Chứng minh:
Bài toán đưa về chứng minh rằng nếu a \equiv b \pmod{p}p^{\beta}||n thì p^{\beta}||\dfrac{a^n-b^n}{a-b}.
Giả sử n=p^{\beta}k. Ta sẽ chứng minh bài toán quy nạp theo \beta
Với trường hợp \beta=0 tức là n\;\not \vdots\;p.
Khi đó ta có: a^k \equiv b^k \pmod{p}

a^kb^{n-k-1}\equiv b^{n-1} \pmod{p} \Rightarrow \sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-k-1}\equiv \sum_{k=0}^{n-1}b^{n-1} \pmod{p} \equiv nb^{n-1}\not \equiv 0 \pmod{p}

\frac{a^n-b^n}{a-b}=\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k.
Do đó \frac{a^n-b^n}{a-b}\;\not\vdots \;p

Bây giờ giả sử bài toán đúng đến \beta ta sẽ chứng minh đúng đến \beta+1 tức là ta chỉ cần chứng minh p||\dfrac{a^{np}-b^{np}}{a^n-b^n}. Thật vậy:

p|a-b nên a=b+xp suy ra a^k\equiv b^k+kb^{k-1}xp \pmod{p^2}
Ta được
\frac{a^{np}-b^{np}}{a^n-b^n}=\sum_{k=0}^{p-1}a^{n(p-k-1)}b^{nk} \equiv\sum_{k=0}^{p-1}(b^{n(p-k-1)}+n(p-k-1)xpb^{n(p-k-1)-1})b^{nk} \pmod {p^2}

\equiv pb^{n(p-1)}+\sum_{k=0}^{p-1} n(p-k-1)xpb^{n(p-1)-1} \equiv pb^{n(p-1)}\equiv p \pmod{p^2}

Vậy ta được p||\dfrac{a^{np}-b^{np}}{a^n-b^n}. Do đó

p^{\beta+1}||\dfrac{a^n-b^n}{a-b}.\dfrac{a^{np}-b^{np}}{a^n-b^n}=\frac{a^{np}-b^{np}}{a-b}

Vậy bài toán được chứng minh

Chú ý:
Ta có một trường hợp đặc biệt sau đây với p=2
Cho a,b,c \in \mathbb{Z} thỏa mãn 2^{\alpha}||\frac{a^2-b^2}{2}2^\beta||n thì 2^{\alpha+\beta}||a^n-b^n

Phần chứng minh kết quả này xin dành cho bạn đọc.

Với trường hợp \beta=0 thì trường hợp đặc biệt này chỉ đúng khi 4|a-b

Và sau đây chúng ta sẽ đến với một số bài toán ứng dụng tính chất này

Bài toán 1:
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn 2^{2012}|17^n-1

Lời giải:

Ta có:2^4||\frac{17^2-1}{2}. Giả sử 2^\alpha ||n.

Theo trường hợp đặc biệt của bài toán mở đầu ta được

2^{4+\alpha}||17^n-1. Suy ra \alpha+4 \geq 2012 \Rightarrow \alpha \geq 2008.

Điều đó có nghĩa là 2^{2008}|n\Rightarrow n\geq 2^{2008} .

Theo bổ đề mở đầu ta được 2^{2012}|{17^2}^{2008}-1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của n2^{2008}


Bài toán 2:
Giải phương trình nghiệm nguyên {2^3}^x+1=19.3^y

Lời giải:
Áp dụng bài toán mở đầu ta được 3^{n+1}||{2^3}^n+13^n là một số lẻ

19 \not \vdots 3 nên do đó ta được 3^y||{2^{3}}^x+1. Từ đó suy ra y=x+1

Vậy phương trình trở thành: {2^3}^x+1=57.3^x (*)

Đặt t=3^x. Ta chứng minh 2^t > 57t \forall t \geq 10

Thật vậy ta có: 2^t=2^6.2^{t-6}=64.2^{t-6}

Ta có 64 > 57, ta có 2^4 > 10 suy ra 2^{t-6}>t đúng với t=10
Giả sử đúng đến t ta có 2^{t-5}=2.2^{t-6}> 2t > t+1

Vậy bđt trên đúng nên từ (*) suy ra 3^x <10 \Rightarrow x\leq2
Thay x=0;1;2 chỉ thấy x=2 thỏa mãn (*). Vậy x=2,y=3 là bộ nghiệm duy nhất của phương trình


Bài toán 3:
Cho dãy số được xác định như sau

a_1=\frac{5}{2}a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+6a_n-3 với mọi n\geq 1

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho \left\lfloor a_n \right\rfloor+1 chia hết cho 3^{2011}
(Đề chọn đội tuyển dự thi VMO 2012-KHTNHN vòng 2)

Lời giải:

Đặt a_n=u_n+1\Rightarrow u_n=a_n-1

Đẳng thức đầu bài cho ta :

a_1-1=\dfrac{3}{2}

a_{n+1}-1= (a_n-1)^3+3(a_n-1)

Nên ta suy ra :

u_1=\dfrac{3}{2}

u_{n+1}= u_n^3+3u_n

Ta chứng minh rằng :u_1=2^{3^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}} \forall n \ge 1 (*)
Thật vậy , với n=1 thì ta thấy thỏa

Nếu đẳng thức trên đúng với n=k tức là :u_k=2^{3^{k-1}}-\frac{1}{2^{k-1}}

Khi đó ta có :u_{k+1} = u_k^3+3u_k= 2^{3^k}-\dfrac{1}{3^{k}}

Do đó theo quy nạp toán học , ta có (*) .

Bởi thế nên :
3^{2011}| \left\lfloor a_n \right\rfloor +1 =\left\lfloor u_n \right\rfloor +2

\Leftrightarrow 3^{2011}| 2^{3^n}+1, (**)

Theo bài toán 1 ta có 3^{n+1}||{2^3}^n+1

Nên suy ra n\geq 2011-1=2010

vậy giá trị n nhỏ nhất cần tìm là n=2010

Bài toán 4: Cho a^n+b^n=p^k với a,bk là các số nguyên dương, p là một số nguyên tố lẻ và n là một số lẻ lớn hơn 1. Chứng minh rằng n phải là một lũy thừa của p

Lời giải: Vì n lẻ nên ta có

p^k=a^n+b^n =(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-ab^{n-2}+b^{n-1})

Vì vậy a+b=p^r với r\in \mathbb{N}^*,r\leq k

ab là các số nguyên dương nên ta có r \geq 1

Giả sử p^\beta||n sử dụng bài toán mở đầu ta được

p^{\beta+r}||a^n-(-b)^n=a^n+b^n=p^k
Suy ra p^{\beta+r}||p^k \Rightarrow+\beta=k-r

Vì các số kr là xác định nên phải có số nguyên dương n nhỏ nhất
thỏa mãn p^\beta||n để a^n+b^n=p^k,
a^m+b^m > a^n+b^n,\forall m > n.
Nên n phải là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn p^\beta||np^\beta. Điều này suy ra n phải là một lũy thừa của p.

Bài toán được chứng minh


Bài toán 5:Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn n^2|2^n+1

(IMO1990)
Lời giải:

Giả sử n là số nguyên dương sao cho n^2|2^n+1 (1)

Suy ra n phải là một số lẻ, dễ thấy n=1 thỏa mãn

Xét n>1, gọi p_1 là ước nguyên tố nhỏ nhất của n.

Ta có : 2^{2n}\equiv 1 \pmod{p_1}

Gọi d=ord_{p_1}2 thì d< {p_1}, d|2n,
(n,d)=1. Suy ra d|2

Nếu d=1 thì p_1=1 vô lí. Vậy d=2p_1|3 suy ra p_1=3.

Giả sử p^\beta||3 thì theo bài toán mở đầu ta được3^{\beta+1}||2^n+1

Kết hợp với (1) ta được

3^{2\beta}|3^{\beta+1}||2^n+1\Rightarrow 2\beta \leq \beta+1\Rightarrow \beta \leq 1
Từ đó suy ra 3||n\Rightarrow n=3k;(n;k)=1

Gọi p_2 là ước nguyên tố nhỏ nhất của k. Ta có 2^{6k}\equiv 1\pmod{p_2}

Gọi d_2=ord_{p_2}2 \Rightarrow d_2<{p_2}d_2|6k
(d_2,k)=1 nên d_2|6.

Dễ thấy d_2 không thể bằng 1 hoặc 2

Nếu d_2=3, ta có p_2|7\Rightarrow p_2=7

Nếu d_2=6, ta có p_2|63=7.9\Rightarrow p_2|7\Rightarrow p_2=7

Mà ta có: 2^3\equiv1\pmod{7}\Rightarrow 2^{k+3}\equiv 2^k\pmod{7}

2\equiv 2 \pmod{7}2^2\equiv 4 \pmod{7}

Nên phương trình 2^k\equiv -1 \pmod{7} không có nghiệm nguyên

Suy ra 2^{7k}+1 không chia hết cho 7 với mọi kp_2 không tồn tại. Vậy n chỉ có một ước nguyên tố duy nhất là 3, lại có 3||n nên suy ra n=3

Vậy các giá trị của n cần tìm là n=1n=3.

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025