Giả sử $f:X\to Y$ là một ánh xạ, $A$ là một tập hợp con của $X$ và B là một tập hợp con của. Chứng minh $f(X-A)\supset f(X)-f(A)$

Giả sử $f:X\to Y$ là một ánh xạ, $A$ là một tập hợp con của $X$ và B là một tập hợp con của Y. Chứng minh
a) $f(X-A)\supset f(X)-f(A)$
b) $f^{-1}(Y-B)=X-f^{-1}(B)$



Giải
a) Với mọi $y\in f(X)-f(A)$
Ta có $$\left\{\begin{matrix}
y\in f(X)\\
y\not\in f(A)
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\exists x\in X,f(x)=y\\
\not\exists x\in A,f(x)=y
\end{matrix}\right.$$
$\Rightarrow \exists x\in X-A,f(x)=y \Rightarrow y\in f(X-A)$
Tức $f(X)-f(A)\subset f(X-A)$
b) $\forall x\in f^{-1} (Y-B)$
$\Leftrightarrow f(x)\in Y-B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
f(x)\in Y\\
f(x)\not\in B
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x\in f^{-1}(Y)=X\\
x\not\in f^{-1}(B)
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x\in X-f^{-1}(B)$
$\Rightarrow f^{-1}(Y-B)=X-f^{-1}(B)$