Duyên hải bắc bộ

 ĐỀ THI DUYÊN HẢI BẮC BỘ KHỐI 10 NĂM HỌC 2012-2013

Câu 1: Giải phương trình :

$$ 3x^2-10x+6+ (x+2).\sqrt{2-x^2}=0$$

Câu 2: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+2z^2+2xyz$.

Câu 3: Trên mặt phẳng cho 2 điểm $A$, $B$ nằm trên đường trong $(O)$, hai đường tiếp tuyến tại $A$, $B$ cắt nhau tai $P$. Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $C$ không là điểm chính giữa cung $AB$. Giả sử $AC$ cắt $PB$ tại $D$, $BC$ cắt $AP$ tại $E$. Chứng mình rằng tâm 3 đường tròn $(ACE),(BCD),(PCO)$ thẳng hàng.

Câu 4: Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ tùy ý. Chứng minh rằng $$\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k} \cdot \binom{p+k}{k} - (2^p+1)$$ chia hết cho $p^2$.

Câu 5:Cho bảng ô vuông $13 \times 13$. Hỏi có thể điền được hay không $169$ số nguyên dương đầu tiên vào các ô vuông con của bảng sao cho:

Hai số nguyên dương liên tiếp được điền vào hai ô kề nhau (hai ô kề nhau là hai ô có chung một cạnh).

Tất cả các số chính phương được điền vào một cột.

KHỐI 11

Câu 1 (4.0 điểm). Giải hệ phương trình sau: $$\begin{cases}
2xy+y\sqrt{x^{2}-y^{2}}=14(\sqrt{\dfrac{x+y}{2}}+\sqrt{\dfrac{x-y}{2}})\\
\sqrt{(\dfrac{x+y}{2})^{3}}+\sqrt{(\dfrac{x+y}{2})^{3}}=9\\
\end{cases})$$

Câu 2. (4.0 điểm). Cho dãy số $(u_{n})$  và $(v_{n} )$ được xác định như sau:
$$\begin{cases}
u_{1}=3,v_{1}=2\\
u_{n+1}=u_{n}^{2}+2v_{n}^{2}\\
v_{n+1}=2v_{n}u_{n}\\
\end{cases}$$
Tìm các giới hạn sau: $(u_{n})$  và $(v_{n} )$

Bài 3. (4.0 điểm). Cho tam giác $ABC$  nội tiếp đường tròn tâm O . Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$  lần lượt tại  $D,E,F$. Gọi H  là hình chiếu vuông góc của D  trên EF ;  AH cắt đường tròn $(O)$  tại điểm thứ hai  G. Tiếp tuyến với đường tròn   tại  G cắt $BC$  tại T . Chứng minh rằng tam giác $TGD$  cân.

Bài 4. (4.0 điểm). Cho  $\alpha,\beta$ là các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $ $f$: (1;+\infty) \longrightarrow R$  thoả mãn điều kiện : $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\dfrac{x}{2})+x^{\beta} f( \dfrac{y}{2}),\forall x,y>2$ .

Bài 5. (4.0 điểm). Gọi hình chữ nhật kích thước $2\times 3$ (hoặc $3\times2$ ) bị cắt bỏ một hình vuông  1x1 ở một góc là hình chữ nhật khuyết đơn (xem hình 1). Gọi hình chữ nhật kích thước  $2\times 3$ (hoặc $3\times 2$  ) bị cắt bỏ hai hình vuông $1\times1$  ở hai góc đối diện là hình chữ nhật khuyết kép (xem hình 2). Người ta ghép một số hình vuông $2\times 2$ , một số hình chữ nhật khuyết đơn và một số hình chữ nhật khuyết kép với nhau sao cho không có hai hình nào chờm lên nhau để tạo thành một hình chữ nhật kích thước $2013\times 2014$ . Gọi s là tổng số các hình vuông $2\times 2$ và hình chữ nhật khuyết kép cần dùng trong mỗi cách ghép hình nói trên. Tìm giá trị lớn nhất của s.