30/4

...

Đề thi olympic 30/4 khối 10 năm học 2012-2013

Bài 1. Giải phương trình
$$(x + 3)\sqrt { - {x^2} - 8x + 48} = x - 24$$

Bài 2. Cho lục giác lồi $ABCDEF$ biết tam giác $ABF$ vuông cân ở $A$, $BCEF$ là hình bình hành, $BC=19$, $AD=2013$,$DC + DE = 19942\sqrt 2 $. Tính diện tích lục giác.

Bài 3. Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $2x(1 - x) \ge y(1 - y)$. Tìm giá trị lớn nhất của $P = x - y + 3xy.$

Bài 4. Cho $x,y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $p = {x^2} + {y^2}$ là số nguyên tố và ${x^3} + {y^3} - 4$ chia hết cho $p$. Tìm $x,y$.

Bài 5 Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $19$ điểm mà tọa độ của chúng là các số nguyên, biết rằng không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại một tam giác sao cho tọa độ của trọng tâm tam giác đó là các số nguyên.

Bài 6.Cho hàm số $f:Z \to Z$ Biết rằng $f(n + 3) \le f(n) + 3$ và $f(n + 2012) \ge f(n) + 2012$. Tính $f(2013)$.

Khối 11


Câu 1: Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x+3y^2-2y=0 \\ 36(x\sqrt{x}+3y^3)-27(4y^2-y)+(2\sqrt{3}-9)\sqrt{x}-1=0 \end{cases}$$

Câu 2: Cho dãy số $$(x_n): \begin{cases}x_1=1 \\ x_{n}=\dfrac{-14x_{n-1}-51}{5x_{n-1}+18} \end{cases}$$
Tính $x_{2013}$ và tìm $\lim x_n$.

Câu 3: Cho tam giác ABC có $AB=3,BC=5,CA=7$. Một đường thẳng di động qua tâm nội tiếp I cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\dfrac{BM.CN}{AM.AN}$.

Câu 4: Tìm hàm số $f,g: R \to R$ thoả $$\begin{cases} f(x-1)+g(2x+1)=2x \\ f(2x+2)+2g(4x+7)=x-1 \end{cases} \ \forall x \in R$$

Câu 5: Cho $x \in R$ thoả $\{ x \} = \{ x^2 \} = \{ x^{2013} \}$. Chứng minh $x \in Z$, với $\{ x \}$ là phần lẻ của số thực $x$.

Câu 6: Có 2 đống sỏi $n$ viên và $k$ viên. Mỗi lần được chọn 1 đống sỏi có số sỏi là chẵn và đem $\dfrac{1}{2}$ số sỏi ở đống này qua đống kia. Nếu 2 đống sỏi đều có chẵn viên thì có thể chọn ngẫu nhiên 1 trong 2. Nếu 2 đống sỏi đều có lẻ viên thì không được chọn nữa. Tìm số bộ sắp thứ tự $(n,k)$ để hai đống sỏi có lẻ viên sau hữu hạn lần chọn