Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P = \frac{{25\left( {xy + yz + zx} \right)}}{{2{x^3} + 3{y^2} + 6z + 1}} - \sqrt[4]{{xyz}}$

Cho $3$ số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $$P = \frac{{25\left( {xy + yz + zx} \right)}}{{2{x^3} + 3{y^2} + 6z + 1}} - \sqrt[4]{{xyz}}$$
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: $x+y+z \geq 3 \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \le 1 \Rightarrow \sqrt[4]{xyz} \geq xyz$
Tiếp tục áp dụng bất đăng thức AM-GM ta có:
$x^3+x^3+1 \geq 3x^2 \Rightarrow 2x^3+3y^2+6z \geq 3x^2+3+3y^2+3+6z-6 \geq 12$
$ \Rightarrow P \le \dfrac{25}{12}(xy+yz+zx)- xyz$
Áp dụng bất đẳng thức Schur  $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \le xyz$
hay $(3-2z)(3-2x)(3-2y) \le xyz \Rightarrow xy+yz+zx \le \dfrac{9}{4}+ \dfrac{3}{4}xyz$
$ \Rightarrow \dfrac{25}{12}(xy+yz+zx)- xyz \le \dfrac{75}{16}+ \dfrac{9}{16}xyz \le \dfrac{21}{4}$
Vậy $MaxP= \dfrac{21}{4}$ khi $x=y=z=1$.