Cho $x,y,z$ thực dương thỏa $xyz=1$. Tìm GTNN của $P=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-6(x+y+z)$

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa $xyz=1$. Tìm GTNN của $$P=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-6(x+y+z)$$
Nghệ An MO 2009
Lời giải
Ta có: $P=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-6(x+y+z)$
-Xét hàm: $L=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-6(x+y+z)+\lambda (xyz-1)$
-Điểm cực trị là nghiệm của hệ:
$\begin{cases} & \ L'_x=L'_y=L'_z=0  \\ & \ xyz=1 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} & \ -3.\frac{1}{x^4}-6+\lambda yz=0  \\ & \ -3.\frac{1}{y^4}-6+\lambda xz=0  \\ & \ -3.\frac{1}{z^4}-6+\lambda xy=0 \\ & \ xyz=1  \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} & \ \frac{1}{x^3}+2x=\frac{1}{y^3}+2y=\frac{1}{z^3}+2z=\frac{\lambda }{3}(*)  \\ & \ xyz=1 \end{cases}$
-Xét $f(x)=\frac{1}{x^3}+2x\\\Rightarrow f''(x)=\frac{12}{x^5}>0 \forall x>0$
Do đó, trong 3 số x;y;z, có 1 cặp số bằng nhau!
-Với $x=y$, biến đổi, ta được:
$(x^3-1)(x^6+x^3-2x+1)=0$
Chứng minh được $x=y=z=1$
-Hệ có nghiệm duy nhất: $(x;y;z)=(1;1;1)$
-Ta có:
$P(1;1;1)=-15$
$P(1;0,5;2)=-11,875>-15$
Nên $P_{min}=-15\Leftrightarrow x=y=z=1$