Chứng minh rằng với mọi $x$ ta có :
$$sin^{1005}x. cos ^{1006}x\leq \sqrt{\frac{1005^{1005}.1006^{1006}}{2011^{2011}}}$$
Lời giải 
Đưa về chứng minh :
$$a^{1005}.b^{1006}\le \frac{1005^{1005}.1006^{1006}}{2011^{2011}}(1)$$
Với $a+b=1; a,b\ge 0$
Thật vậy
$$(1)\Leftrightarrow \left (\frac{a}{1005}\right )^{1005}.\left (\frac{b}{1006}\right )^{1006}\le \dfrac{1}{2011^{2011}}$$
Theo AM-GM suy rộng :
$$\left (\frac{a}{1005}\right )^{1005}.\left (\frac{b}{1006}\right )^{1006}$$ $$\le \left (\frac{\dfrac{a}{1005}.1005+\frac{b}{1006}.1006}{1005+1006}\right )^{1005+1006}=\frac{1}{2011^{2011}}$$