Processing math: 100%

Thứ Sáu, 7 tháng 12, 2012

Chứng minh rằng a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c).

Cho a,b,c \ge 0. Chứng minh rằng a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c).
Lời giải
Đặt f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3+3abc-[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]
Điểm cực trị f(a;b;c) là nghiệm của hệ
\frac{\partial f}{\partial a}=\frac{\partial f}{\partial b}=\frac{\partial f}{\partial c}
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3(a^2+bc)=2ab+2ac+b^2+c^2\\ 3(b^2+ac)=2ab+2bc+a^2+c^2\\ 3(c^2+ab)=2ac+2bc+a^2+b^2 \end{matrix}\right.
Cộng theo vế ta có a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow a=b=c khi đó f(a;b;c)=0
Xét TH a=0:b^3+c^3\geq bc(b+c)\Leftrightarrow (b+c)(b-c)^3\geq 0
Dấu đẳng thức chỉ xảy ra \Leftrightarrow a=b=c hoặc a=0,b=c và hoán vị tương ứng

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025
Mudim v0.8 Tắt VNI Telex Viqr Tổng hợp Tự động Chính tảBỏ dấu kiểu mới [ Bật/Tắt (F9) Ẩn/Hiện (F8) ]