Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c). $

Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c). $
Lời giải
Đặt $f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3+3abc-[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]$
Điểm cực trị $f(a;b;c)$ là nghiệm của hệ
$$\frac{\partial f}{\partial a}=\frac{\partial f}{\partial b}=\frac{\partial f}{\partial c}$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3(a^2+bc)=2ab+2ac+b^2+c^2\\ 3(b^2+ac)=2ab+2bc+a^2+c^2\\ 3(c^2+ab)=2ac+2bc+a^2+b^2 \end{matrix}\right.$$
Cộng theo vế ta có $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow a=b=c$ khi đó $f(a;b;c)=0$
Xét TH $a=0:b^3+c^3\geq bc(b+c)\Leftrightarrow (b+c)(b-c)^3\geq 0$
Dấu đẳng thức chỉ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ và hoán vị tương ứng