Processing math: 100%

Thứ Tư, 28 tháng 11, 2012

Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn: P(x)P(x^2)=P(x^3)

Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn:
P(x)P(x^2)=P(x^3)
Lời giải
P \equiv 0 là một đa thức thỏa đề. Xét khi \deg P=n \in \mathbb{N}. Nếu n=0 thì dễ thấy P \equiv 1.
Xét n>0. Đặt P\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {a_i x^i }
So sánh hệ số bậc cao nhất thì a_n=1. Gọi a_k là hệ số có k lớn nhất (k<n)a_k \ne 0. Theo giả thiết
\left( {x^n  + a_k x^k  + ...} \right)\left( {x^{2n}  + a_k x^{2k}  + ...} \right) = x^{3n}  + a_k x^{3k}  + ...
So sánh hệ số x^{2n+k} với chú ý n>k thì a_k=0: mâu thuẫn. Do đó P(x)=x^n với n là số nguyên dương.
Thử lại: VT=P(x)P(x^2)=x^{n}.x^{2n}=x^{3n}=P(x^3)=VP
Kết luận: P(x)=x^n \,\,\forall x với n là số tự nhiên hoặc P \equiv 0.

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025