Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn: $P(x)P(x^2)=P(x^3)$

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn:
$P(x)P(x^2)=P(x^3)$

Lời giải

$P \equiv 0$ là một đa thức thỏa đề. Xét khi $\deg P=n \in \mathbb{N}$. Nếu $n=0$ thì dễ thấy $P \equiv 1$.
Xét $n>0$. Đặt $P\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {a_i x^i }$
So sánh hệ số bậc cao nhất thì $a_n=1$. Gọi $a_k$ là hệ số có $k$ lớn nhất $(k<n)$ mà $a_k \ne 0$. Theo giả thiết
\[
\left( {x^n  + a_k x^k  + ...} \right)\left( {x^{2n}  + a_k x^{2k}  + ...} \right) = x^{3n}  + a_k x^{3k}  + ...
\]
So sánh hệ số $x^{2n+k}$ với chú ý $n>k$ thì $a_k=0$: mâu thuẫn. Do đó $P(x)=x^n$ với $n$ là số nguyên dương.
Thử lại: $VT=P(x)P(x^2)=x^{n}.x^{2n}=x^{3n}=P(x^3)=VP$
Kết luận: $P(x)=x^n \,\,\forall x$ với $n$ là số tự nhiên hoặc $P \equiv 0$.