Processing math: 5%

Thứ Tư, 28 tháng 11, 2012

Chứng minh rằng phương trình 16x^5-20x^3+5x+2=0,(1) có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó.

Chứng minh rằng phương trình 16x^5-20x^3+5x+2=0 (1) có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó.
Lời giải:
TH1: |x|\le 1. Đặt x=\cos a với 0 \le a \le \pi. (1) trở thành:
16\cos ^5 a - 20\cos ^3 a + 5\cos a + 2 = 0 \Leftrightarrow \cos 5a =  - 2
Phương trình này vô nghiệm a nên (1) vô nghiệm x|x|\le 1.
TH2: |x|>1. Đặt x=\dfrac{1}{2} \left( a+\dfrac{1}{a} \right) với a \in \mathbb{R}. (1) trở thành:
\begin{array}{l} 16.\frac{1}{{2^5 }}\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^5  - 20.\frac{1}{{2^3 }}\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^3  + 5.\frac{1}{2}\left( {a + \frac{1}{2}} \right) + 2 = 0 \\   \Leftrightarrow a^5  + \frac{1}{{a^5 }} + 4 = 0 \\   \Leftrightarrow a^{10}  + 4a^5  + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a^5  =  - 2 + \sqrt 3  \\ a^5  =  - 2 - \sqrt 3  \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = a_1  = \sqrt[5]{{ - 2 + \sqrt 3 }} \\ a = a_2  = \sqrt[5]{{ - 2 - \sqrt 3 }} \\ \end{array} \right. \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = x_1  = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[5]{{ - 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[5]{{ - 2 + \sqrt 3 }}}}} \right) \\ x = x_2  = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[5]{{ - 2 - \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[5]{{ - 2 - \sqrt 3 }}}}} \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array}
Mặt khác, chú ý rằng a_1a_2=1 \Rightarrow x_1=x_2. Do vậy, (1) có nghiệm duy nhất là:
x = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[5]{{ - 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[5]{{ - 2 + \sqrt 3 }}}}} \right)

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025