Chứng minh rằng phương trình $16x^5-20x^3+5x+2=0,(1)$ có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó.

Chứng minh rằng phương trình $16x^5-20x^3+5x+2=0 (1)$ có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó.
Lời giải:
TH1: $|x|\le 1$. Đặt $x=\cos a$ với $0 \le a \le \pi$. (1) trở thành:
\[
16\cos ^5 a - 20\cos ^3 a + 5\cos a + 2 = 0 \Leftrightarrow \cos 5a =  - 2
\]
Phương trình này vô nghiệm $a$ nên (1) vô nghiệm $x$ mà $|x|\le 1$.
TH2: $|x|>1$. Đặt $x=\dfrac{1}{2} \left( a+\dfrac{1}{a} \right)$ với $a \in \mathbb{R}$. (1) trở thành:
\[
\begin{array}{l}
16.\frac{1}{{2^5 }}\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^5  - 20.\frac{1}{{2^3 }}\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^3  + 5.\frac{1}{2}\left( {a + \frac{1}{2}} \right) + 2 = 0 \\
  \Leftrightarrow a^5  + \frac{1}{{a^5 }} + 4 = 0 \\
  \Leftrightarrow a^{10}  + 4a^5  + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a^5  =  - 2 + \sqrt 3  \\
a^5  =  - 2 - \sqrt 3  \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = a_1  = \sqrt[5]{{ - 2 + \sqrt 3 }} \\
a = a_2  = \sqrt[5]{{ - 2 - \sqrt 3 }} \\
\end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = x_1  = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[5]{{ - 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[5]{{ - 2 + \sqrt 3 }}}}} \right) \\
x = x_2  = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[5]{{ - 2 - \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[5]{{ - 2 - \sqrt 3 }}}}} \right) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]
Mặt khác, chú ý rằng $a_1a_2=1 \Rightarrow x_1=x_2$. Do vậy, (1) có nghiệm duy nhất là:
\[
x = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[5]{{ - 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[5]{{ - 2 + \sqrt 3 }}}}} \right)
\]