Tìm min: $\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a+b}+\frac{b^{\frac{5}{2}}}{b+c}+\frac{c^{\frac{5}{2}}}{c+a}$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn : $abc=1$ . Tìm min:
$\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a+b}+\frac{b^{\frac{5}{2}}}{b+c}+\frac{c^{\frac{5}{2}}}{c+a}$
Lời giải
Bổ đề: Với mọi số thực dương $a,b,c$ và $k\geq \frac{3}{2}$ thì ta có bất đẳng thức:
$$\frac{a^k}{a+b}+\frac{b^k}{b+c}+\frac{c^k}{c+a}\geq \frac{a^{k-1}+b^{k-1}+c^{k-1}}{2}$$
Chứng minh:
Thật vậy ta có $Q.E.D\Leftrightarrow \frac{a^{k-1}.(a-b)}{a+b}+\frac{b^{k-1}.(b-c)}{b+c}+\frac{c^{k-1}.(c-a)}{c+a}\geq 0$
Sử dụng kết quả sau với $a,b,c>0$ ta sẽ có ngay kết quả bài toán:
$$\frac{a^{k-1}.(a-b)}{a+b}\geq \frac{a^{k-1}-b^{k-1}}{2(k-1)}$$
$$\Leftrightarrow 2(k-1).a^{k-1}.(a-b)-(a^{k-1}-b^{k-1})(a+b)\geq 0$$
Khai triển và rút gọn thì bất đẳng thức tương đương với
$$\Leftrightarrow (2k-3)a^k+b^k+ab^{k-1}\geq (2k-1)a^{k-1}b$$
Nhưng bất đẳng thức cuối lại đúng the0 $AM-GM$ ch0 $2k-1$ số.Vậy ta có ĐPCM.
Quay lại với bài toán.TH $k=\frac{5}{2}$ ta được:
$\frac{a^\frac{5}{2}}{a+b}+\frac{b^\frac{5}{2}}{b+c}+\frac{c^\frac{5}{2}}{c+a}\geq \frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}}{2}\geq \frac{3}{2}$ (Do $abc=1$)
Còn TH $k=\frac{3}{2}$ tương tự ta cũng có được:
$\frac{a^\frac{3}{2}}{a+b}+\frac{b^\frac{3}{2}}{b+c}+\frac{c^\frac{3}{2}}{c+a}\geq \frac{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}+c^{\frac{1}{2}}}{2}\geq \frac{3}{2}$ (Do $abc=1$)
Kết thúc chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$