Chứng minh rằng: Nếu $|f(x)| \leq |sinx|$ ; với mọi $x \in [-1;1]$ thì $| a_1 + 2a_2 + 3a_3 +... +na_n | \leq 1.$

Cho hàm số $f(x) = a_1sinx + a_2sin2x + ... + a_nsinnx$. Chứng minh rằng: Nếu $|f(x)| \leq |sinx|$ ; với mọi $x \in [-1;1]$ thì $| a_1 + 2a_2 + 3a_3 +... +na_n | \leq 1.$
Đề thi HSG lớp 11 Quảng Ngãi năm học 2011-2012
Lời giải
Ta có: $$\left| {{a_1} + 2{a_2} + 3{a_3} + ... + n{a_n}} \right| = \left| {f'\left( 0 \right)} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}} \right|$$
$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\frac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}}} \right|\left| {\frac{{\sin x}}{x}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\frac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}}} \right| \le 1 \Rightarrow Q.E.D$$