IMO 2012 - P.2
Bài toán: Cho số nguyên n \ge 3 và {a_2},{a_3},...,{a_n} là các số thực dương thỏa mãn {a_2}{a_3}...{a_n} = 1. Chứng minh rằng:(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n
Lời giải
Áp dụng AM-GM ta có ngay :
(1+a_k)^k=\left (\dfrac{1}{k-1}.(k-1)+a_k\right )^k\ge \left (\dfrac{k\sqrt[k]{a_k}}{\sqrt[k]{(k-1)^{k-1}}}\right )^k=\dfrac{a_k}{(k-1)^{k-1}}.k^k
Nên do đó :
(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n\ge n^n.a_2...a_n=n^n
Nhưng dấu "=" không xảy ra, suy ra điều phải chứng minh \blacksquare
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét