IMO 2012 - P.2

Problem: Let $n \ge 3$ be an integer, and let $a_2, a_3, \ldots , a_n$ be positive real numbers such that $a_2\cdots a_n = 1.$ Prove that \[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n\]

IMO 2012 - P.2

Bài toán: Cho số nguyên $n \ge 3$ và ${a_2},{a_3},...,{a_n}$ là các số thực dương thỏa mãn ${a_2}{a_3}...{a_n} = 1$. Chứng minh rằng:
\[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n\]
Lời giải
Áp dụng $AM-GM$ ta có ngay :
$$(1+a_k)^k=\left (\dfrac{1}{k-1}.(k-1)+a_k\right )^k\ge \left (\dfrac{k\sqrt[k]{a_k}}{\sqrt[k]{(k-1)^{k-1}}}\right )^k=\dfrac{a_k}{(k-1)^{k-1}}.k^k$$
Nên do đó :
$$(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n\ge n^n.a_2...a_n=n^n$$
Nhưng dấu "=" không xảy ra, suy ra điều phải chứng minh $\blacksquare$