Chứng minh rằng: $\frac{a^5+b^5+c^5 -(a+b+c)^5}{a^3+b^3+c^3 -(a+b+c)^3} \ge \frac{10}{9}(a+b+c)^2$

Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn:$(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^5+b^5+c^5 -(a+b+c)^5}{a^3+b^3+c^3 -(a+b+c)^3} \ge \frac{10}{9}(a+b+c)^2$$ .
Lời giải
Để ý rằng $$a^5+b^5+c^5=(a+b+c)^5-5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)$$
$$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)$$
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành
$$\frac{a^5+b^5+c^5-(a+b+c)^5}{a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3}=\frac{5}{3}(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)$$
Ta cần chứng minh $$\frac{5}{3}(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)\geq \frac{10}{9}(a+b+c)^2$$
Hay $$3(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)\ge 2(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)$$
$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do đó ta có diều phải chứng minh $\square$